10: 2015-07-08 (水) 22:58:22 osinko  |
現: 2015-07-21 (火) 22:21:42 osinko |
| | **関数\(f(x)\)に対する極限の式 [#g807b583] | | **関数\(f(x)\)に対する極限の式 [#g807b583] |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | + | 関数\( f(x)\)が区間\(a\le x\le b\)において連続であるものとする時 |
| | 関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b } \) を \(\varepsilon \delta\)論法で書くと | | 関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b } \) を \(\varepsilon \delta\)論法で書くと |
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| | ***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは？[#b916c1c5] | | ***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは？[#b916c1c5] |
| | \(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読む。これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じであるが | | \(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読む。これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じであるが |
| - | あるグラフの縦軸と横軸の単位差（幅）を表す事が慣例として意味づけられている | + | ある質問に登場する数値を\(\varepsilon\)、返答に登場する数値を\(\delta\)とする事が慣例として意味づけられている |
| - | （yが縦軸、xが横軸を表すように）\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差（幅）を指している | + | |
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| | ***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) [#k2f2e12a] | | ***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) [#k2f2e12a] |
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| | &ref(ip_del_1.png); | | &ref(ip_del_1.png); |
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| - | これを、（傾き）微分係数\(f'\left( x \right) =\frac { y }{ x } \)をメインに考えて整理すると | |
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| - | \(\displaystyle \begin{cases} 0\quad <\quad \frac { \left| f\left( x \right) -b \right| }{ \left| x-a \right| } \quad <\quad \frac { \varepsilon }{ \delta } \\ \quad \\ \frac { b-\varepsilon }{ a-\delta } \quad <\quad \frac { f\left( x \right) }{ x } \quad <\quad \frac { b+\varepsilon }{ a+\delta } \end{cases}\) | |
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| - | となる。ここで、''\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか？''この事に対して考えると | |
| - | （この「適当」とはカタカナのテキトォーじゃなくて「適切と思われる値を考えて狙って当てる」の適当） | |
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| - | 例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\)の一点を\(x=p \) と定めた時、対応する\(y\)の値は\({p}^{2}\)となる。即ち座標\((p ,{ p }^{ 2 })\)となり、この\(p\)に\(\varepsilon >0,\delta >0\)である事を注意しながら\(a +\delta \)を代入すると \({ \left( a +\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \) の関係が成り立つ。この式を\(\delta\)に対して解くと | |
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| - | \({ \left( a+\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \quad \rightarrow \quad a+\delta =\sqrt { b+\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { b+\varepsilon } -a \) となる | |
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| - | ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right) =b } \) より\(a=2,b=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる | |
| - | また、 \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \)に当てはめると \(0<\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \) となる | |
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| - | これを展開すると | |
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| - | \(0<\left| x-2 \right| \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<x-2\quad \rightarrow \quad x>2 \\ 0<-x+2\quad \rightarrow \quad x<2 \end{cases}\quad \rightarrow \quad x≠2\) | |
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| - | \(\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad \begin{cases} x-2<\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad x<\sqrt { 4+\varepsilon } \\ -x+2<\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad -x<\sqrt { 4+\varepsilon } -4\quad \rightarrow \quad x<4-\sqrt { 4+\varepsilon } \end{cases}\) | |
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| - | \(\left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad \rightarrow \quad \begin{cases} { x }^{ 2 }-4<\varepsilon \quad \rightarrow \quad { x }^{ 2 }<\varepsilon +4 \\ -{ x }^{ 2 }+4<\varepsilon \quad \rightarrow \quad { -x }^{ 2 }<\varepsilon -4\quad \rightarrow \quad { -x }^{ 2 }<\varepsilon -4\quad ???? \\ \end{cases}\) | |
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| - | &font(Fuchsia){虚数と向き合う必要があるので、一端この問題はここでストップ&br;先に虚数を勉強する事にする&br;}; | |
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| - | !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TODO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! | |
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| - | \({ \varepsilon }_{ n }<{ \varepsilon }_{ n-1 }\)とすると\(\displaystyle \frac { { \varepsilon }_{ n } }{ { \delta }_{ n } } <\frac { { \varepsilon }_{ n-1 } }{ { \delta }_{ n-1 } } \)になり・・・ | |
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| - | <memo> | |
| - | 資料：[[高校数学/相加相乗平均の関係]] | |
| - | \(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \) | |
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| - | \(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いだろうか？ | |
| - | \(\displaystyle f'(x)\quad =\quad \frac { f(x) }{ x } \quad =\quad \frac { f(a+\delta )-f(a) }{ (b+\varepsilon )-b } \) | |
| - | \(\displaystyle 0\quad <\quad \frac { \left| f(x)-b \right| }{ \left| x-a \right| } \quad <\quad \frac { \varepsilon }{ \delta } \quad <\quad \frac { f(x) }{ x } \quad <\quad \frac { b+\varepsilon }{ a+\delta } \) | |
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| | ***論法をunityで検証する [#k4537a0b] | | ***論法をunityで検証する [#k4537a0b] |
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| | つまり、\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b }\) を処理する関数が作成できる。実際にコードにしてみる | | つまり、\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b }\) を処理する関数が作成できる。実際にコードにしてみる |
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| | + | #navi |
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