微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法
のバックアップソース(No.10)
Unity学習帳2冊目
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εδ(イプシロン、デルタ)論法
のバックアップソース(No.10)
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微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法
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#jsmath εδ(イプシロン、デルタ)論法は極限に対する解釈を有限で扱い厳密に定めるために利用する計算技法 論理記号を使って数学言語的に定義して行く。人間は無限を扱えない。その為に有限で考える **関数\(f(x)\)に対する極限の式 [#g807b583] #jsmath 関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b } \) を \(\varepsilon \delta\)論法で書くと \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { \mathbb{R} },\quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) となる。記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている ***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは?[#b916c1c5] \(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読む。これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じであるが あるグラフの縦軸と横軸の単位差(幅)を表す事が慣例として意味づけられている (yが縦軸、xが横軸を表すように)\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差(幅)を指している ***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) [#k2f2e12a] 最初の2項。\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) の部分は 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時」 となる ***\(s.t.\) [#v6b20f9f] 次の項 \(s.t.\) 。これは~ such that ~ という意味で「右記の条件を満たすような左記は存在する」となる ここで注意が必要なのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分 つまり「ある条件下で存在する事は確実である」と仮定したら、その仮定を確かめる為の証明はまた別に必要になる 「実際に存在を証明する」という行為自体はこの式に含まれていない。それを踏まえてεδ論法は読み進めていく必要がある 手段が正しいものであるかどうかを確かめるために仮定を立てそれに従い証明を行って「考えの動作確認」をする時にこの論法は必要になる? ***\(\forall x\in { \mathbb{R} }\) [#j22eb74e] その次の項 \(\forall x\in { \mathbb{R} }\) は「任意の実数\(x\)に対し」という意味になっている ***\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) [#gf8acd6a] 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) この式の意味は一度展開しないと意味が分かりづらい まず\(A\)側の式を展開してみる \(0<\left| x-a \right| <\delta \) この式は不等号で3項の関係を表現している。従って2項づつに分離して展開を進める \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、これを外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\) \(⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) まとめると\(A\)は以下になる \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\) 次に\(B\)側の式を展開する \(\left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon\) これも同じように絶対値記号を外すために場合分けして展開する \(f\left( x \right) -b<\varepsilon \quad \rightarrow \quad f\left( x \right) <b+\varepsilon \quad \cdots ⑦\\ -\left( f\left( x \right) -b \right) <\varepsilon \quad \rightarrow \quad -f\left( x \right) +b<\varepsilon \quad \rightarrow \quad -f\left( x \right) <-b+\varepsilon \quad \rightarrow \quad f\left( x \right) >b-\varepsilon \quad \cdots ⑧\) ⑦⑧をまとめると\(B\)は \(b-\varepsilon <f\left( x \right) <b+\varepsilon \) となる ここで\(AB\)をあわせると \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\quad \Rightarrow \quad b-\varepsilon <f\left( x \right) <b+\varepsilon \) となる ***論法を俯瞰してみる [#ec614706] #jsmath \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { { R } },\quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \\ \\ 展開後\quad \quad \forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { { R } },\quad \begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\quad \Rightarrow \quad b-\varepsilon <f\left( x \right) <b+\varepsilon \) &ref(ip_del_1.png); これを、(傾き)微分係数\(f'\left( x \right) =\frac { y }{ x } \)をメインに考えて整理すると \(\displaystyle \begin{cases} 0\quad <\quad \frac { \left| f\left( x \right) -b \right| }{ \left| x-a \right| } \quad <\quad \frac { \varepsilon }{ \delta } \\ \quad \\ \frac { b-\varepsilon }{ a-\delta } \quad <\quad \frac { f\left( x \right) }{ x } \quad <\quad \frac { b+\varepsilon }{ a+\delta } \end{cases}\) となる。ここで、''\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか?''この事に対して考えると (この「適当」とはカタカナのテキトォーじゃなくて「適切と思われる値を考えて狙って当てる」の適当) 例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\)の一点を\(x=p \) と定めた時、対応する\(y\)の値は\({p}^{2}\)となる。即ち座標\((p ,{ p }^{ 2 })\)となり、この\(p\)に\(\varepsilon >0,\delta >0\)である事を注意しながら\(a +\delta \)を代入すると \({ \left( a +\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \) の関係が成り立つ。この式を\(\delta\)に対して解くと \({ \left( a+\delta \right) }^{ 2 }=b+\varepsilon \quad \rightarrow \quad a+\delta =\sqrt { b+\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { b+\varepsilon } -a \) となる ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right) =b } \) より\(a=2,b=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる また、 \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \)に当てはめると \(0<\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \) となる これを展開すると \(0<\left| x-2 \right| \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<x-2\quad \rightarrow \quad x>2 \\ 0<-x+2\quad \rightarrow \quad x<2 \end{cases}\quad \rightarrow \quad x≠2\) \(\left| x-2 \right| <\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad \begin{cases} x-2<\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad x<\sqrt { 4+\varepsilon } \\ -x+2<\sqrt { 4+\varepsilon } -2\quad \rightarrow \quad -x<\sqrt { 4+\varepsilon } -4\quad \rightarrow \quad x<4-\sqrt { 4+\varepsilon } \end{cases}\) \(\left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad \rightarrow \quad \begin{cases} { x }^{ 2 }-4<\varepsilon \quad \rightarrow \quad { x }^{ 2 }<\varepsilon +4 \\ -{ x }^{ 2 }+4<\varepsilon \quad \rightarrow \quad { -x }^{ 2 }<\varepsilon -4\quad \rightarrow \quad { -x }^{ 2 }<\varepsilon -4\quad ???? \\ \end{cases}\) &font(Fuchsia){虚数と向き合う必要があるので、一端この問題はここでストップ&br;先に虚数を勉強する事にする&br;}; !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TODO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \({ \varepsilon }_{ n }<{ \varepsilon }_{ n-1 }\)とすると\(\displaystyle \frac { { \varepsilon }_{ n } }{ { \delta }_{ n } } <\frac { { \varepsilon }_{ n-1 } }{ { \delta }_{ n-1 } } \)になり・・・ <memo> 資料:[[高校数学/相加相乗平均の関係]] \(\frac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \) \(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いだろうか? \(\displaystyle f'(x)\quad =\quad \frac { f(x) }{ x } \quad =\quad \frac { f(a+\delta )-f(a) }{ (b+\varepsilon )-b } \) \(\displaystyle 0\quad <\quad \frac { \left| f(x)-b \right| }{ \left| x-a \right| } \quad <\quad \frac { \varepsilon }{ \delta } \quad <\quad \frac { f(x) }{ x } \quad <\quad \frac { b+\varepsilon }{ a+\delta } \) ***論法をunityで検証する [#k4537a0b] 俯瞰して眺めるとεδ論法は日本語に翻訳でき、またunityで扱うC#へと翻訳出来る この際、数学者はこの論法を考えの検証に利用するが、プログラマーはコードにして答えを求めるための道具にする事が出来る つまり、\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b }\) を処理する関数が作成できる。実際にコードにしてみる
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微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法 のバックアップ一覧
微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-07-04 (土) 20:44:17
osinko
2: 2015-07-05 (日) 01:39:13
osinko
3: 2015-07-05 (日) 13:25:54
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4: 2015-07-05 (日) 19:02:34
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5: 2015-07-05 (日) 23:20:08
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6: 2015-07-06 (月) 14:17:23
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7: 2015-07-06 (月) 21:06:19
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8: 2015-07-07 (火) 20:02:19
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9: 2015-07-08 (水) 18:56:00
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10: 2015-07-08 (水) 22:58:22
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11: 2015-07-09 (木) 15:45:12
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12: 2015-07-09 (木) 22:12:14
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現: 2015-07-21 (火) 22:21:42
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