1: 2015-07-04 (土) 20:44:17 osinko  |
2: 2015-07-05 (日) 01:39:13 osinko |
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| | ***基本形 [#g807b583] | | ***基本形 [#g807b583] |
| | + | #jsmath |
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| - | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad \quad \quad s.t.\quad \quad \quad \forall x\in R,\quad \quad \quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) | + | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad \quad \quad s.t.\quad \quad \quad \forall x\in \mathbb{R},\quad \quad \quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) |
| | + | |
| | + | 記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味の詳細は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている |
| | + | これらは「表現する為の記号」であり単なる道具なので必ず日本語に訳せる。なので恐れず理解していく事が大切だと思う |
| | + | 上記の基本形の式を日本語に直していく・・・ |
| | + | |
| | + | まず\(\varepsilon\)（イプシロンと読む）と\(\delta\)（デルタと読む）について |
| | + | これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じである。ただ、あるグラフの縦軸と横軸の単位差（幅）を表す事が慣例として意味づけられているように思う |
| | + | （yが縦軸、xが横軸を表すように）\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差（幅）を指すことが多い |
| | + | |
| | + | 最初の2項を日本語にしてみる |
| | + | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) |
| | + | 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時。」 となる。これは式を読み進めていくと後ろに色々な意味が付いてくる |
| | + | （恐ろしいことに数学なのに行間を読まなければならない。だから結構難しい・・・） |
| | + | 最終的には どれだけ小さな値を\(\varepsilon\)に対して割当てても良く、その\(\varepsilon\)に合わせて適切な値の\(\delta\)が半ば半強制的に決定する時 という意味になっていく |
| | + | |
| | + | 次の項は \(s.t.\) だが、これは～ such that ～ という意味で |
| | + | 「右記の条件を満たすような左記は存在する。」となる。つまりここでバッサリと式は左右に分けられている |
| | + | また、ここで注意しておかなければならないのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分である |
| | + | つまり「宇宙人は存在する」と仮定したら、それを確かめるのはまた別の話なのです |
| | + | 仮定を確かめる為の実際に探す工程、つまり「宇宙人を探す」という部分はこの式に含まれていない |
| | + | それを踏まえて読み進めていく必要があります |
| | + | |
| | + | その次の項 |
| | + | \(\forall x\in { R }\) |
| | + | 「任意の実数\(x\)に対し」 |
| | + | |
| | + | 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している |
| | + | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) |
| | + | この式の意味なのだが、展開しないとちょっと意味が分かりづらい。まず\(A\)側の式を展開してみる |
| | + | |
| | + | \(0<\left| x-a \right| <\delta \) |
| | + | まず不等号で３項の関係を表現しているので２項づつに分離する |
| | + | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) |
| | + | 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、この絶対値を外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる |
| | + | \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) |
| | + | \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\\ ⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) |
| | + | |
| | + | まとめると\(A\)は以下になる |
| | + | \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\) |
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