2: 2015-07-05 (日) 01:39:13 osinko  |
現: 2015-07-21 (火) 22:21:42 osinko |
| - | **εδ（イプシロン、デルタ）論法 [#c4eb0a57] | |
| | #jsmath | | #jsmath |
| - | 極限に対する解釈を有限で扱い厳密に定めるために利用する計算技法。論理記号を使って数学言語的に定義して行く | + | εδ（イプシロン、デルタ）論法は極限に対する解釈を有限で扱い厳密に定めるために利用する計算技法 |
| - | 人間は無限を扱えない。その為に有限で考える | + | 論理記号を使って数学言語的に定義して行く。人間は無限を扱えない。その為に有限で考える |
| | | | |
| - | ***基本形 [#g807b583] | + | **関数\(f(x)\)に対する極限の式 [#g807b583] |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | + | 関数\( f(x)\)が区間\(a\le x\le b\)において連続であるものとする時 |
| | + | 関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b } \) を \(\varepsilon \delta\)論法で書くと |
| | | | |
| - | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad \quad \quad s.t.\quad \quad \quad \forall x\in \mathbb{R},\quad \quad \quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) | + | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { \mathbb{R} },\quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) |
| | | | |
| - | 記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味の詳細は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている | + | となる。記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている |
| - | これらは「表現する為の記号」であり単なる道具なので必ず日本語に訳せる。なので恐れず理解していく事が大切だと思う | + | |
| - | 上記の基本形の式を日本語に直していく・・・ | + | |
| | | | |
| - | まず\(\varepsilon\)（イプシロンと読む）と\(\delta\)（デルタと読む）について | + | ***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは？[#b916c1c5] |
| - | これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じである。ただ、あるグラフの縦軸と横軸の単位差（幅）を表す事が慣例として意味づけられているように思う | + | \(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読む。これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じであるが |
| - | （yが縦軸、xが横軸を表すように）\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差（幅）を指すことが多い | + | ある質問に登場する数値を\(\varepsilon\)、返答に登場する数値を\(\delta\)とする事が慣例として意味づけられている |
| | | | |
| - | 最初の2項を日本語にしてみる | + | ***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) [#k2f2e12a] |
| - | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) | + | |
| - | 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時。」 となる。これは式を読み進めていくと後ろに色々な意味が付いてくる | + | |
| - | （恐ろしいことに数学なのに行間を読まなければならない。だから結構難しい・・・） | + | |
| - | 最終的には どれだけ小さな値を\(\varepsilon\)に対して割当てても良く、その\(\varepsilon\)に合わせて適切な値の\(\delta\)が半ば半強制的に決定する時 という意味になっていく | + | |
| | | | |
| - | 次の項は \(s.t.\) だが、これは～ such that ～ という意味で | + | 最初の２項。\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) の部分は |
| - | 「右記の条件を満たすような左記は存在する。」となる。つまりここでバッサリと式は左右に分けられている | + | 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時」 となる |
| - | また、ここで注意しておかなければならないのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分である | + | |
| - | つまり「宇宙人は存在する」と仮定したら、それを確かめるのはまた別の話なのです | + | |
| - | 仮定を確かめる為の実際に探す工程、つまり「宇宙人を探す」という部分はこの式に含まれていない | + | |
| - | それを踏まえて読み進めていく必要があります | + | |
| | | | |
| - | その次の項 | + | ***\(s.t.\) [#v6b20f9f] |
| - | \(\forall x\in { R }\) | + | 次の項 \(s.t.\) 。これは～ such that ～ という意味で「右記の条件を満たすような左記は存在する」となる |
| - | 「任意の実数\(x\)に対し」 | + | ここで注意が必要なのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分 |
| | + | つまり「ある条件下で存在する事は確実である」と仮定したら、その仮定を確かめる為の証明はまた別に必要になる |
| | + | 「実際に存在を証明する」という行為自体はこの式に含まれていない。それを踏まえてεδ論法は読み進めていく必要がある |
| | | | |
| | + | 手段が正しいものであるかどうかを確かめるために仮定を立てそれに従い証明を行って「考えの動作確認」をする時にこの論法は必要になる？ |
| | + | |
| | + | ***\(\forall x\in { \mathbb{R} }\) [#j22eb74e] |
| | + | その次の項 \(\forall x\in { \mathbb{R} }\) は「任意の実数\(x\)に対し」という意味になっている |
| | + | |
| | + | ***\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) [#gf8acd6a] |
| | 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している | | 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している |
| | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) | | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) |
| - | この式の意味なのだが、展開しないとちょっと意味が分かりづらい。まず\(A\)側の式を展開してみる | + | この式の意味は一度展開しないと意味が分かりづらい |
| | | | |
| - | \(0<\left| x-a \right| <\delta \) | + | まず\(A\)側の式を展開してみる |
| - | まず不等号で３項の関係を表現しているので２項づつに分離する | + | \(0<\left| x-a \right| <\delta \) この式は不等号で３項の関係を表現している。従って２項づつに分離して展開を進める |
| | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) | | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) |
| - | 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、この絶対値を外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる | + | 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、これを外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる |
| | \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) | | \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) |
| - | \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\\ ⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) | + | |
| | + | \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\) |
| | + | |
| | + | \(⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) |
| | | | |
| | まとめると\(A\)は以下になる | | まとめると\(A\)は以下になる |
| | \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\) | | \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\) |
| | + | |
| | + | 次に\(B\)側の式を展開する |
| | + | \(\left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon\) |
| | + | |
| | + | これも同じように絶対値記号を外すために場合分けして展開する |
| | + | |
| | + | \(f\left( x \right) -b<\varepsilon \quad \rightarrow \quad f\left( x \right) <b+\varepsilon \quad \cdots ⑦\\ -\left( f\left( x \right) -b \right) <\varepsilon \quad \rightarrow \quad -f\left( x \right) +b<\varepsilon \quad \rightarrow \quad -f\left( x \right) <-b+\varepsilon \quad \rightarrow \quad f\left( x \right) >b-\varepsilon \quad \cdots ⑧\) |
| | + | |
| | + | ⑦⑧をまとめると\(B\)は \(b-\varepsilon <f\left( x \right) <b+\varepsilon \) となる |
| | + | |
| | + | ここで\(AB\)をあわせると |
| | + | |
| | + | \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\quad \Rightarrow \quad b-\varepsilon <f\left( x \right) <b+\varepsilon \) |
| | + | |
| | + | となる |
| | + | |
| | + | ***論法を俯瞰してみる [#ec614706] |
| | + | #jsmath |
| | + | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { { R } },\quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \\ \\ 展開後\quad \quad \forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { { R } },\quad \begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\quad \Rightarrow \quad b-\varepsilon <f\left( x \right) <b+\varepsilon \) |
| | + | |
| | + | &ref(ip_del_1.png); |
| | + | |
| | + | ***論法をunityで検証する [#k4537a0b] |
| | + | |
| | + | 俯瞰して眺めるとεδ論法は日本語に翻訳でき、またunityで扱うC#へと翻訳出来る |
| | + | この際、数学者はこの論法を考えの検証に利用するが、プログラマーはコードにして答えを求めるための道具にする事が出来る |
| | + | |
| | + | つまり、\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b }\) を処理する関数が作成できる。実際にコードにしてみる |
| | + | |
| | + | #navi |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
