微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法
のバックアップソース(No.2)
Unity学習帳2冊目
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εδ(イプシロン、デルタ)論法
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微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法
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**εδ(イプシロン、デルタ)論法 [#c4eb0a57] #jsmath 極限に対する解釈を有限で扱い厳密に定めるために利用する計算技法。論理記号を使って数学言語的に定義して行く 人間は無限を扱えない。その為に有限で考える ***基本形 [#g807b583] #jsmath \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad \quad \quad s.t.\quad \quad \quad \forall x\in \mathbb{R},\quad \quad \quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) 記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味の詳細は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている これらは「表現する為の記号」であり単なる道具なので必ず日本語に訳せる。なので恐れず理解していく事が大切だと思う 上記の基本形の式を日本語に直していく・・・ まず\(\varepsilon\)(イプシロンと読む)と\(\delta\)(デルタと読む)について これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じである。ただ、あるグラフの縦軸と横軸の単位差(幅)を表す事が慣例として意味づけられているように思う (yが縦軸、xが横軸を表すように)\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差(幅)を指すことが多い 最初の2項を日本語にしてみる \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時。」 となる。これは式を読み進めていくと後ろに色々な意味が付いてくる (恐ろしいことに数学なのに行間を読まなければならない。だから結構難しい・・・) 最終的には どれだけ小さな値を\(\varepsilon\)に対して割当てても良く、その\(\varepsilon\)に合わせて適切な値の\(\delta\)が半ば半強制的に決定する時 という意味になっていく 次の項は \(s.t.\) だが、これは~ such that ~ という意味で 「右記の条件を満たすような左記は存在する。」となる。つまりここでバッサリと式は左右に分けられている また、ここで注意しておかなければならないのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分である つまり「宇宙人は存在する」と仮定したら、それを確かめるのはまた別の話なのです 仮定を確かめる為の実際に探す工程、つまり「宇宙人を探す」という部分はこの式に含まれていない それを踏まえて読み進めていく必要があります その次の項 \(\forall x\in { R }\) 「任意の実数\(x\)に対し」 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) この式の意味なのだが、展開しないとちょっと意味が分かりづらい。まず\(A\)側の式を展開してみる \(0<\left| x-a \right| <\delta \) まず不等号で3項の関係を表現しているので2項づつに分離する \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、この絶対値を外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\\ ⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) まとめると\(A\)は以下になる \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\)
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微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法 のバックアップ一覧
微積分と物理/εδ(イプシロン、デルタ)論法 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-07-04 (土) 20:44:17
osinko
2: 2015-07-05 (日) 01:39:13
osinko
3: 2015-07-05 (日) 13:25:54
osinko
4: 2015-07-05 (日) 19:02:34
osinko
5: 2015-07-05 (日) 23:20:08
osinko
6: 2015-07-06 (月) 14:17:23
osinko
7: 2015-07-06 (月) 21:06:19
osinko
8: 2015-07-07 (火) 20:02:19
osinko
9: 2015-07-08 (水) 18:56:00
osinko
10: 2015-07-08 (水) 22:58:22
osinko
11: 2015-07-09 (木) 15:45:12
osinko
12: 2015-07-09 (木) 22:12:14
osinko
現: 2015-07-21 (火) 22:21:42
osinko