3: 2015-07-05 (日) 13:25:54 osinko |
4: 2015-07-05 (日) 19:02:34 osinko |
- | **εδ(イプシロン、デルタ)論法 [#c4eb0a57] | |
| #jsmath | | #jsmath |
- | 極限に対する解釈を有限で扱い厳密に定めるために利用する計算技法。論理記号を使って数学言語的に定義して行く | + | εδ(イプシロン、デルタ)論法は極限に対する解釈を有限で扱い厳密に定めるために利用する計算技法 |
- | 人間は無限を扱えない。その為に有限で考える | + | 論理記号を使って数学言語的に定義して行く。人間は無限を扱えない。その為に有限で考える |
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- | ***基本形 [#g807b583] | + | **関数\(f(x)\)に対する極限の式 [#g807b583] |
| #jsmath | | #jsmath |
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- | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad \quad \quad s.t.\quad \quad \quad \forall x\in \mathbb{R},\quad \quad \quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) | + | 関数\( f(x)\) に対する極限の式 \(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right)=b } \) を \(\varepsilon \delta\)論法で書くと |
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- | 記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味の詳細は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている | + | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\quad s.t.\quad \forall x\in { \mathbb{R} },\quad 0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) |
- | これらは「表現する為の記号」であり単なる道具なので必ず日本語に訳せる。なので恐れず理解していく事が大切だと思う | + | |
- | 上記の基本形の式を日本語に直していく・・・ | + | |
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- | まず\(\varepsilon\)(イプシロンと読む)と\(\delta\)(デルタと読む)について | + | となる。記述には論理記号や集合論の記号が利用されている。それらの意味は[[ウィキペディア_数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]]に詳しく書かれている |
- | これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じである。ただ、あるグラフの縦軸と横軸の単位差(幅)を表す事が慣例として意味づけられているように思う | + | |
- | (yが縦軸、xが横軸を表すように)\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差(幅)を指すことが多い | + | |
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- | 最初の2項を日本語にしてみる | + | ***見慣れない記号 \(\varepsilon \delta\) とは?[#b916c1c5] |
- | \(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) | + | \(\varepsilon\)はイプシロンと読む。\(\delta\)はデルタと読む。これは\(x\)や\(a\)のような変数や定数と同じであるが |
- | 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時。」 となる。これは式を読み進めていくと後ろに色々な意味が付いてくる | + | あるグラフの縦軸と横軸の単位差(幅)を表す事が慣例として意味づけられている |
- | (恐ろしいことに数学なのに行間を読まなければならない。だから結構難しい・・・) | + | (yが縦軸、xが横軸を表すように)\(\varepsilon\)は縦軸、\(\delta\)は横軸の単位差(幅)を指している |
- | 最終的には どれだけ小さな値を\(\varepsilon\)に対して割当てても良く、その\(\varepsilon\)に合わせて適切な値の\(\delta\)が半ば半強制的に決定する時 という意味になっていく | + | |
| | | |
- | 次の項は \(s.t.\) だが、これは~ such that ~ という意味で | + | ***\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) [#k2f2e12a] |
| + | |
| + | 最初の2項。\(\forall \varepsilon >0\quad ,\quad \exists \delta >0\) の部分は |
| + | 「任意の正数\(\varepsilon\)に対して適当な正数\(\delta\)が存在する時」 となる |
| + | |
| + | ***\(s.t.\) [#v6b20f9f] |
| + | 次の項 \(s.t.\) 。これは~ such that ~ という意味で |
| 「右記の条件を満たすような左記は存在する。」となる。つまりここでバッサリと式は左右に分けられている | | 「右記の条件を満たすような左記は存在する。」となる。つまりここでバッサリと式は左右に分けられている |
- | また、ここで注意しておかなければならないのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分である | + | ここで注意しておかなければならないのは「&font(Red){''この式は存在しか主張していない''};」という部分 |
- | つまり「宇宙人は存在する。たぶんこの辺に…」と仮定したら、それを確かめるのはまた別の話なのです | + | つまり「宇宙人は存在する。たぶんこの辺に…」と仮定したら、それを確かめるのはまた別の話 |
- | 仮定を確かめる為に実際に探しだす工程、つまり「宇宙人を目の前に連れてきて存在を証明する」という行為はこの式に含まれていません | + | 仮定を確かめる為に実際に探しだす工程、つまり「宇宙人を目の前に連れてきて存在を証明する」という行為はこの式に含まれていない |
- | それを踏まえて読み進めていく必要があります | + | それを踏まえて読み進めていく必要がある |
| | | |
- | その次の項 | + | ***\(\forall x\in { \mathbb{R} }\) [#j22eb74e] |
- | \(\forall x\in { \mathbb{R} }\) | + | その次の項 \(\forall x\in { \mathbb{R} }\) は「任意の実数\(x\)に対し」という意味になっている |
- | 「任意の実数\(x\)に対し」 | + | |
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| + | ***\(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) [#gf8acd6a] |
| 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している | | 続く項は長いが一つの項になっている。\(A \Rightarrow B\) は \(A\)の条件を満たす時、\(B\)が成立する事を意味している |
| \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) | | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon \) |
- | この式の意味なのだが、展開しないとちょっと意味が分かりづらい。まず\(A\)側の式を展開してみる | + | この式の意味は一度展開しないと意味が分かりづらい |
| | | |
- | \(0<\left| x-a \right| <\delta \) | + | まず\(A\)側の式を展開してみる |
- | まず不等号で3項の関係を表現しているので2項づつに分離する | + | \(0<\left| x-a \right| <\delta \) この式は不等号で3項の関係を表現している。従って2項づつに分離して展開を進める |
| \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) | | \(0<\left| x-a \right| <\delta \quad \rightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-a \right| \quad \cdots ① \\ \left| x-a \right| <\delta \quad \cdots ② \end{cases}\) |
- | 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、この絶対値を外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる | + | 次に\(x-a\)は絶対値記号 \(\left| \right|\) で囲まれているので、これを外すために場合分けして展開する。すると以下のようになる |
| \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) | | \(①より\\ 0<x-a\quad \rightarrow \quad a<x\quad \cdots ③\\ 0<-(x-a)\quad \rightarrow \quad 0<-x+a\quad \rightarrow \quad x<a\quad \cdots ④\\ ③④より x\neq a\) |
| \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\\ ⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) | | \(②より\\ x-a<\delta \quad \rightarrow \quad x<a+\delta \quad \cdots ⑤\\ -(x-a)<\delta \quad \rightarrow \quad -x+a<\delta \quad \rightarrow \quad -x<-a+\delta \quad \rightarrow \quad x>a-\delta \quad \cdots ⑥\\ ⑤⑥より\\ a-\delta <x<a+\delta \) |
| まとめると\(A\)は以下になる | | まとめると\(A\)は以下になる |
| \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\) | | \(\begin{cases} x\neq a \\ a-\delta <x<a+\delta \end{cases}\) |
| + | |
| + | 次にB側の式を展開する |
| + | \(\left| f\left( x \right) -b \right| <\varepsilon\) |
| + | これも同じように絶対値記号を外すために場合分けして展開する |
| + | \(f\left( x \right) -b<\varepsilon \quad \rightarrow \quad f\left( x \right) <b+\varepsilon \quad \cdots ⑦\\ -\left( f\left( x \right) -b \right) <\varepsilon \quad \rightarrow \quad -f\left( x \right) +b<\varepsilon \quad \rightarrow \quad -f\left( x \right) <-b+\varepsilon \quad \rightarrow \quad f\left( x \right) >b-\varepsilon \quad \cdots ⑧\) |