1: 2015-07-29 (水) 20:59:16 osinko  |
2: 2015-07-29 (水) 23:46:52 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | + | **メモ [#ccf26894] |
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| - | lim、極限の証明に必要と思われるものを考える | + | εδ論法が何をしているか？ lim、極限の証明に必要と思われるものを考える（仮定してみる） |
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| - | ①式中に帰納法的関係にある一組の変数を見つける。例えば\(\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\) | + | ①式中に帰納法的関係にある一組の変数を見つける（仕様として要求する） |
| | + | |
| | + | 例えば\(\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\) |
| | + | これは「\(\varepsilon\)に対応する\(\delta \)」＝互いに帰納的な関数の関係にあることを前提としている |
| | + | |
| | + | ②基となる変数\(\varepsilon\)を正の数にして不等号の方向を揃えておく |
| | + | |
| | + | これらの前提をεδ論法で命題として前提を組み上げて（前提は真を要求する）、「論証の結論」としてδに必要な説明と適切な値を考えて入れる |
| | + | 組みあがった段階で証明が完了している（特定式のlimに対する要求仕様を満たしたので無限級数を利用した収束計算などが可能となる） |
| | + | |
| | + | 前提であるεδ論法の命題は変数に対する「limの要求仕様」になっている |
| | + | 前提で「帰納的関係にある一組の変数」と「カウンタブルな自然数nと正常運用できる正の数の実数の関係」を確保しているので |
| | + | limで等比数列の性質を使って計算の連鎖を発生させ収束させる（無限級数の型にはめてる） |
| | + | |
| | + | （式中の変数の帰納的関係が無限級数の要求仕様？） |
| | + | |
| | + | アイディアとして「アキレスと亀（これはゲームの物理につなげやすい）をlimで収束計算」と「εδ論法」を同時に合わせて計算して性質をバラして考える |
| | + | 論理学が必要になるのは自分で何か論法を作る時で「まだ先になってから必要らしい」。ただ基本は知らないと駄目なのでもう少し進めても良いかもしれない |
| | + | |
| | + | |
| | + | （考えている最中の推理で間違っている可能性もある。これから確認する） |
| | + | |
| | + | |
| | + | -絶対値の理解が不可欠 |
| | + | |
| | + | **分数と不等号の理解が不可欠 [#i2385461] |
| | + | ルートの計算と同じで慣れが必要 |
| | + | |
| | + | 資料： |
| | + | [[不等式を計算するときに覚えておきたい法則・性質:http://manapedia.jp/text/1385]] |
| | + | |
| | + | ***逆数にすることで不等号の向きが変わる [#nf7632fe] |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \varepsilon >\frac { 1 }{ 2 } \quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \varepsilon } <2\) |
| | + | |
| | + | 例： |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \varepsilon =3\)とする。この場合、\(\varepsilon\)は正の数でなければ、この式の変形は破綻する |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \varepsilon >\frac { 1 }{ 2 } \quad \quad \rightarrow \quad 3>\frac { 1 }{ 2 } \quad true\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ 3 } <2\quad true\) |
| | + | |
| | + | ***ふたつの不等式の関係をまとめられる？ [#o15aad17] |
| | + | |
| | + | \(n>\delta\) ならば \(\displaystyle \left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle n>\delta \quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ n } <\frac { 1 }{ \delta } \quad \quad \cdots ①\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| <\varepsilon \quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ n } <\varepsilon \quad \cdots ②\) |
| | + | |
| | + | ①と②合わせると \(\displaystyle \left| \frac { 1 }{ n } -0 \right| =\frac { 1 }{ n } <\varepsilon =\frac { 1 }{ \delta } \) ちょっと乱暴な気がするが、こんなことをしていいらしい？？ |
| | + | |
| | + | （これによりεとδの関数の関係が見つけられる） |
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