プログレス4
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Unity学習帳2冊目
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TITLE:メモ #jsmath (εδ論法自体はあまりゲーム作りには必要ない知識かも。厳密な数の動きを知る、証明の為の物であってunityでゲームを作るには重要度が低い可能性があります。自分は帰納に興味があるので少し続けます) ***εδ論法とは何者か? [#i36c18cc] εδ論法(イプシロン・デルタ論法)とは何者か? εδ論法とは対応する、ふたつの変数の関係を解析する為に使う道具である。基本的に証明のためのもの 実体のA点(\(n\),\({ a }_{ n }\))、仮定のB点(\(\delta\),\(\varepsilon \))のふたつの点をグラフ上に作りその関係を論理的に調べる &ref(epsdel2.png); \(y=f(x)={x}^{2}\)の場合、関数によって対応する\(x\)と\(y\)という変数の関係を解析できる \({ a }_{ n }=f(n)=\frac{1}{n}\)の場合、関数によって対応する&font(Red){数列};\({a}_{n}\)と\(n\)という変数の関係を解析できる (この「対応する」と言う言葉は\(x\)と\(y\)が互いに関数の関係にあり、\(x\)が変化すれば\(y\)が、\(y\)が変化すれば\(x\)が変化することを表している) 仮定のB点はA点の関数の性質を継承している。従って\(\delta\)も\(\varepsilon\)に対応している(慣習的にグラフ縦軸の変数を\(\varepsilon\)、横軸側を\(\delta\)とする) このA点とB点の差を利用して「関数の性質」や「数列の性質」「数の性質」を調べる事が出来る lim等の利用により「片方の変数が無限に減ったり増えたりする際の関数の性質を知る」事も出来る //C#という言語仕様も数学の性質を利用して設計されている。その為「数の性質」を利用して「帰納的なコード」を組む等も可能となる //また微積分との相性が非常に良いので「関数の性質」の理解が進めば「漸化式」を作成する事が可能となる ***アルキメデスの公理 [#te060291] アルキメデスの公理、もしくはアルキメデスの性質、原則と呼ばれる自明のものがある。εδ論法では、この公理が利用される機会が多い 公理は証明が必要ない公然とした事実として扱われる。その内容は以下になっている &font(Navy){''任意の正の実数 \(\varepsilon>0\)、\(a>0\)に対して\(n\varepsilon>a\)をみたす自然数 \(n\in \mathbb{ N }\) が必ず存在する''}; 基本的な部分を確認しておく。自然数、整数、実数等、代表的な数の分類とは、どんな数か以下参照 細かい数の分類は資料:[[数学-数の種類:http://capm-network.com/?tag=%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A8%AE%E9%A1%9E]]を参照 |自然数|0,1,2,3,4...|\(\mathbb{N}\)|uint| |整数|...-2,-1,0,1,2,3...|\(\mathbb{Z}\)|int| |実数|+-、0、整数、分数、小数、有理数、ルート、円周率、無理数等を含めた数|\(\mathbb{R}\)|float,double,Mathf.Pi| 自然数は中学教育の間までは0を含めていないが高校以降では含める事となっている。nはnatural_numberの頭文字であるが、数学では0を含めた場合iとするのが慣習である。つまり0まで含めた数列の場合\({a}_{i}\)と書く(個人メモ:C#のforループでi=0を使う慣習は、この数学的慣習にならっての事だと予想される。つまり1から始めるループならnを使う、マイナスまで含めたforループならzを使うのが良い?) <計算例> \(\varepsilon=0.1234,a=789.0123\quad \rightarrow \quad n\varepsilon>a\quad \rightarrow \quad 0.1234n>789.0123\quad \rightarrow \quad n>\frac { 789.0123 }{ 0.1234 } =6393.94...\) \(n>6393.94...\quad \rightarrow \quad n=6394\) 教本によっては\(\varepsilon<a\)も前提中に含まれている場合があるが公理自体は、\(\varepsilon<a\)を要求していない。これは\(n\)を\(0\)に出来るからだ (メモ:背理を前提としているから含めている?ちょっとまだ理解できてない) ***実数と数列の関係 [#g0c39628] 実数に対して、こんな感じのものではないか?という仮定を幾つか立てる #hr 実数\(\mathbb{R}\)に含まれる無理数、超越数は有理数\(\mathbb{Q}\)の集合から代数的操作で得る事は出来ず、極限操作によってはじめて定義できる 従って有理数\(\mathbb{Q}\)と実数\(\mathbb{R}\)は四則演算について閉じている 例: \(\pi\)≠有理数 や \(\sqrt { 2 }\)≠有理数 のように無理数や超越数は有理数に出来ない。だから四則演算については閉じている 「閉じている」とは何か? #hr 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n)\Rightarrow p(n+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) が成り立つ(数学的帰納法) 『「\(n\)が一番端(1や0)が成り立つ」&「任意の自然数\(n\)に対して【\(p(n)\)ならば\(p(n+1)\)】が成り立つ」』ならば、「自然数\(n\)に対して依存する命題\(p(n)\)が存在する」 \(p(n)\)の出力は実数 //<メモ> //自然数の場合は数列で実数でも単調であれば同じこと?・・・総和であれば漸化式?・・・ //依存すると対応するの違いはあるのか? **メモ [#la320adc] 上に有界ならsup 下に有界ならinf
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プログレス4 のバックアップ一覧
プログレス4 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-08-15 (土) 11:27:02
osinko
2: 2015-08-15 (土) 13:29:30
osinko
3: 2015-08-15 (土) 15:00:26
osinko
4: 2015-08-15 (土) 23:44:49
osinko
5: 2015-08-16 (日) 02:25:30
osinko
6: 2015-08-16 (日) 12:25:13
osinko
7: 2015-08-16 (日) 13:14:23
osinko
8: 2015-08-16 (日) 18:58:36
osinko
9: 2015-08-20 (木) 10:19:31
osinko
現: 2015-08-21 (金) 20:27:43
osinko