7: 2015-08-16 (日) 13:14:23 osinko  |
8: 2015-08-16 (日) 18:58:36 osinko |
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| | 教本によっては\(\varepsilon<a\)も前提中に含まれている場合があるが公理自体は、\(\varepsilon<a\)を要求していない。これは\(n\)を\(0\)に出来るからだ | | 教本によっては\(\varepsilon<a\)も前提中に含まれている場合があるが公理自体は、\(\varepsilon<a\)を要求していない。これは\(n\)を\(0\)に出来るからだ |
| - | （メモ：背理を前提としているから含めている？ちょっとまだ理解できてない） | + | |
| | + | ***アルキメデスの公理２ [#n2bdd0a9] |
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| | ***実数と数列の関係 [#g0c39628] | | ***実数と数列の関係 [#g0c39628] |
| - | 実数に対して、こんな感じのものではないか？という仮定を幾つか立てる | + | こんな感じのものではないか？という仮定を幾つか立てる |
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| | #hr | | #hr |
| | + | ＜実数と有理数の関係＞ |
| | 実数\(\mathbb{R}\)に含まれる無理数、超越数は有理数\(\mathbb{Q}\)の集合から代数的操作で得る事は出来ず、極限操作によってはじめて定義できる | | 実数\(\mathbb{R}\)に含まれる無理数、超越数は有理数\(\mathbb{Q}\)の集合から代数的操作で得る事は出来ず、極限操作によってはじめて定義できる |
| | 従って有理数\(\mathbb{Q}\)と実数\(\mathbb{R}\)は四則演算について閉じている | | 従って有理数\(\mathbb{Q}\)と実数\(\mathbb{R}\)は四則演算について閉じている |
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| | 例： | | 例： |
| - | \(\pi\)≠有理数 や \(\sqrt { 2 }\)≠有理数 のように無理数や超越数は有理数に出来ない。だから四則演算については閉じている | + | \(\pi\)≠有理数 や \(\sqrt { 2 }\)≠有理数 のように無理数や超越数は有理数に出来ない。だから四則演算については閉じている。「閉じている」とは何か？この場合同じ集合同士の四則演算が同じ集合に収まる様を指している。無理数同士の足算や掛算は無理数に、超越数同士は超越数になる |
| - | 「閉じている」とは何か？ | + | |
| | #hr | | #hr |
| | + | ＜数列と自然数の関係＞ |
| | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して | | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して |
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| - | \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n)\Rightarrow p(n+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) | + | \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) |
| | + | |
| | + | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている |
| | + | |
| | + | +\(p(1)\) が一番端（1や0）が成り立つ事を示す |
| | + | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す |
| | + | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける |
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| - | が成り立つ（数学的帰納法） | + | //『「\(n\)が一番端（1や0）が成り立つ」＆「任意の自然数\(k\)に対して【\(p(k)\)ならば\(p(k+1)\)】が成り立つ」』ならば、「自然数\(n\)に対して依存する命題\(p(n)\)が存在する」 |
| | + | \(p(n)\)の出力は実数。これは「[[プログラマの数学>書評]]」で説明されるドミノのたとえ話を論理的に説明したもの |
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| - | 『「\(n\)が一番端（1や0）が成り立つ」＆「任意の自然数\(n\)に対して【\(p(n)\)ならば\(p(n+1)\)】が成り立つ」』ならば、「自然数\(n\)に対して依存する命題\(p(n)\)が存在する」 | + | ＜考察＞ |
| - | \(p(n)\)の出力は実数 | + | 逆にこれが成り立たない関数の形とはどんなものだろうか？ |
| | + | たとえば\(p(0)\)が一番端だとして\(p(i)=\frac{1}{i}\)の時、\(0\)の除算が発生してその計算は成り立たない |
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| | + | 又、この論証から数列が帰納的な性質を持っているという事が分る |
| | + | 数列の総和や極限で表現された微分や積分は必ず帰納的に考える事が出来る |
| | + | つまり形式的微分や形式的積分で求められた関数から起源である数列の関数\(p(n)\)が必ず求められる筈だとも考えれる？ |
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| | //＜メモ＞ | | //＜メモ＞ |
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