8: 2015-08-16 (日) 18:58:36 osinko  |
現: 2015-08-21 (金) 20:27:43 osinko |
| | \(n>6393.94...\quad \rightarrow \quad n=6394\) | | \(n>6393.94...\quad \rightarrow \quad n=6394\) |
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| - | 教本によっては\(\varepsilon<a\)も前提中に含まれている場合があるが公理自体は、\(\varepsilon<a\)を要求していない。これは\(n\)を\(0\)に出来るからだ | + | //教本によっては\(\varepsilon<a\)も前提中に含まれている場合があるが公理自体は、\(\varepsilon<a\)を要求していない。これは\(n\)を\(0\)に出来るからだ |
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| | ***アルキメデスの公理２ [#n2bdd0a9] | | ***アルキメデスの公理２ [#n2bdd0a9] |
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| | #hr | | #hr |
| - | ＜数列と自然数の関係＞ | |
| - | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して | |
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| - | \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) | |
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| - | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている | |
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| - | +\(p(1)\) が一番端（1や0）が成り立つ事を示す | |
| - | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す | |
| - | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける | |
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| - | //『「\(n\)が一番端（1や0）が成り立つ」＆「任意の自然数\(k\)に対して【\(p(k)\)ならば\(p(k+1)\)】が成り立つ」』ならば、「自然数\(n\)に対して依存する命題\(p(n)\)が存在する」 | |
| - | \(p(n)\)の出力は実数。これは「[[プログラマの数学>書評]]」で説明されるドミノのたとえ話を論理的に説明したもの | |
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| - | ＜考察＞ | |
| - | 逆にこれが成り立たない関数の形とはどんなものだろうか？ | |
| - | たとえば\(p(0)\)が一番端だとして\(p(i)=\frac{1}{i}\)の時、\(0\)の除算が発生してその計算は成り立たない | |
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| - | 又、この論証から数列が帰納的な性質を持っているという事が分る | |
| - | 数列の総和や極限で表現された微分や積分は必ず帰納的に考える事が出来る | |
| - | つまり形式的微分や形式的積分で求められた関数から起源である数列の関数\(p(n)\)が必ず求められる筈だとも考えれる？ | |
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| - | //＜メモ＞ | |
| - | //自然数の場合は数列で実数でも単調であれば同じこと？・・・総和であれば漸化式？・・・ | |
| - | //依存すると対応するの違いはあるのか？ | |
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| | **メモ [#la320adc] | | **メモ [#la320adc] |
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