微積分と物理/実数の定義
のバックアップソース(No.11)
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微積分と物理/実数の定義
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#jsmath 数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う &ref(liner1.png); 数直線上の\(1\)を基準にふたつの有理数の集合に切断してみる。片方を\(A\)、もう片方を\(B\)とする &font(Red){このふたつの集合を組みにした\((A,B)\)を「切断」と呼び、''切断そのものを理論上の「実数」とみなすことにする''}; (\(A\)と\(B\)は同じ値として扱われる。好みで、どちらの表現をしても良い) 切断は以下の論理命題で定義される +\(\mathbb{Q}=A\cup B\) +\(A\cap B=\emptyset ,A≠\emptyset ,B≠\emptyset \) +\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\) +\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \) +\(A\)には最大値が無い +\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge \quad t<a)\quad \Rightarrow \quad t\in A\) \(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは空集合を含まない \(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば、\(a\le b\)が成り立つ \(A\)は有理数で、有理数の全体と同じではない \(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数\(t\)よりも大きな値\(a\)を見つける事により無限に大きくなり続ける。従って集合\(A\)は上界を持つ 切断の境目は無理数である場合と、有理数の場合である時の2種類がある &ref(number1.png); 有理数の場合は、その境目をどちらかの集合に入れて置く事になるので、ここでは集合\(B\)に入れる事に決めた 上記の条件を踏まえて実際に\(1\)を基準に切断すると、その切断の境目は有理数の\(\frac { 3 }{ 3 } \)となる為以下になる \(切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { \mathbb{Q} }|a<1 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in { \mathbb{Q} }|b\ge 1 \right\} \quad \right) \quad \Rightarrow \quad 切断\left( \quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3=0.\dot { 3 } \times 3=0.\dot { 9 } \quad ,\quad \frac { 3 }{ 3 } =1\quad \right) \) \(\Rightarrow \quad 切断\left( \quad 0.\dot { 9 } \quad ,\quad 1 \quad \right) \) &ref(liner2.png); &font(Red){''\(a\)は有理数なので以下のようにも表せる。このように考えると実数と有理数、極限の関係が掴めてくる''}; &font(Red){\(\displaystyle a\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1-\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } } \quad =\quad 0.\dot { 9 } \)}; 補足: \(a= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1-{ \left( \frac { 1 }{ { 10 } } \right) }^{ n } } \)も同様になる&br;\(a= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { 1 }{ { 10 } } \right) }^{ n } } \)等とすると式の意味が全く変わってくるので注意(この場合は二項定理が必要になってきて計算結果も大きく変わる) ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる(実際に計算機を用意して以下を試す) \(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0.\dot { 2 } \\ 3\div 9=0.33333...=0.\dot { 3 } \\ \quad \quad \quad \vdots \\ 8\div 9=0.88888...=0.\dot { 8 } \\ 9\div 9=0.99999...=0.\dot { 9 } =1\) \(切断(A,B)\)を利用すると「実数 = 切断( 実数表現 , 有理数表現 )」が得られる。\(A\)も\(B\)も有限の紙の上で書ける表現となる 反対に紙に書けない無理数のような無限に続く実数の値は一端、有理数の近似値にして近似の実数を得るしかない
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微積分と物理/実数の定義 のバックアップ一覧
微積分と物理/実数の定義 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-09-29 (火) 21:01:00
osinko
2: 2015-09-29 (火) 23:06:22
osinko
3: 2015-09-30 (水) 00:51:09
osinko
4: 2015-10-01 (木) 00:24:35
osinko
5: 2015-10-15 (木) 01:54:34
osinko
Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 01:52:15
6: 2015-10-15 (木) 02:46:20
osinko
Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 02:09:40
7: 2015-10-15 (木) 14:28:18
osinko
8: 2015-10-15 (木) 17:19:50
osinko
Deleted an attach file: number3.png at 2015-10-15 (木) 16:50:22, Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 16:50:45, Deleted an attach file: number2.png at 2015-10-15 (木) 16:51:10 at 2015-10-15 (木) 16:53:52
9: 2015-10-15 (木) 23:00:24
osinko
10: 2015-10-16 (金) 10:21:21
osinko
11: 2015-10-16 (金) 21:13:10
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12: 2015-10-18 (日) 23:19:22
osinko
13: 2015-10-19 (月) 12:40:05
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14: 2015-10-19 (月) 17:47:14
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15: 2015-10-20 (火) 02:04:51
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16: 2015-10-24 (土) 22:10:35
osinko
17: 2015-10-25 (日) 01:29:25
osinko
現: 2015-11-04 (水) 22:28:03
osinko