1: 2015-09-29 (火) 21:01:00 osinko  |
2: 2015-09-29 (火) 23:06:22 osinko |
| | TITLE:実数の定義 | | TITLE:実数の定義 |
| | + | #jsmath |
| | + | |
| | 数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う | | 数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う |
| | + | &ref(liner1.png); |
| | + | これから数直線上の１を基準に有理数の集合をふたつに切断する |
| | + | +\(\mathbb{Q}=A\cup B\) |
| | + | +\(A\cap B=0,A≠0,B≠0\) |
| | + | +\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\) |
| | + | |
| | + | \(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは\(0\)を含まない |
| | + | \(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば、\(a\le b\)が成り立つ |
| | + | |
| | + | 上記の条件を踏まえて実際に１を基準に切断するとこうなる |
| | + | &ref(liner2.png); |
| | + | \(A:=\left\{ a\in Q|a<1 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in Q|b\ge 1 \right\} \) |
| | + | |
| | + | （補足：この数式の読み方がわからない人はこちらを参照してください。→[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]]） |
| | + | この場合、\(A\)と\(B\)は「同じ１という数直線状の切断」を指す。つまり\(a=0.99999999.....=0.\dot { 9 } \)という循環小数と\(b=1\)という切断が行われた事となります |
| | + | （補足：数学では循環小数を循環する数字の上にドットを書くと表現される） |
| | + | &font(150%){''&font(Red){このaとbは「同じ数として扱う」という事が数学上、”約束事として決められています”};''}; |
| | + | &font(150%){''&font(Red){又、\(A\)が実数の集合であることも約束事として決められています};''}; |
| | + | |
| | + | aとbは有理数なので以下のようにも表せます |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle a\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3\quad =\quad 0.3333\dot { 3 } \times 3\quad =\quad 0.\dot { 9 } \quad =\quad 1\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle b\quad =\quad \frac { 1 }{ 1 } \quad =\quad 1\) |
| | + | |
| | + | 又、このようにも表せます |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle a\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad =\quad 0.\dot { 9 } \quad =\quad 1\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle b\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( \frac { 10 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad =\quad 1\) |
| | + | |
| | + | つまりデデキント切断で考えると\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \)が\(1\)となる理由が正しく説明できるようになります |
| | + | |
| | + | ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみましょう（実際に計算機を用意して以下を試してみてください） |
| | + | |
| | + | \(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0.\dot { 2 } \\ 3\div 9=0.33333...=0.\dot { 3 } \\ \quad \quad \quad \vdots \\ 8\div 9=0.88888...=0.\dot { 8 } \\ 9\div 9=0.99999...=0.\dot { 9 } =1\) |
| | + | |
| | + | これが我々が日常何も考えず利用している数の仕組みです。このデデキント切断は大学で定義されます。高校生まではここまで考えなくて良いと政府から指導されているようです |
| | + | |
| | + | 次に数直線上の\(\sqrt { 2 } \)を基準に有理数の集合をふたつに切断する事を考えて行きます |
| | + | |
| | + | **数直線上の\(\sqrt { 2 }\)を基準に有理数の集合を切断する [#z3ab827b] |
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