微積分と物理/実数の定義
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微積分と物理/実数の定義
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TITLE:実数の定義 #jsmath 数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う &ref(liner1.png); これから数直線上の1を基準に有理数の集合をふたつに切断する 境目が有理数の場合、その境目を切断したふたつのどちらかに入れて置く事になります。ここでは集合\(B\)に入れる事にしておきます +\(\mathbb{Q}=A\cup B\) +\(A\cap B=0,A≠0,B≠0\) +\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\) \(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは\(0\)を含まない \(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば、\(a\le b\)が成り立つ 上記の条件を踏まえて実際に1を基準に切断するとこうなる &ref(liner2.png); \(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|b\ge 1 \right\} \) (補足:式の読み方→[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]]) 「1」は有理数で様々に表現できる。例えば\(\frac { 1 }{ 1 }\)、\(\frac { 2 }{ 2 }\)等、このような\(1\)を表現できる有理数の数列を\(B=\left\{ \frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 2 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 3 } ,... \right\}\)とする。この集合\(B\)は「切断の境目と寸分狂いなく重なっている」。つまり、\(B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|b\ge 1 \right\}\)となる。 次に集合\(A\)は認識出来うる、もっとも\(1\)に近い有理数となる。例えば\(\frac { 9 }{ 10 }\)や\(\frac { 99 }{ 100 }\)、\(\frac { 999 }{ 1000 }\)と近づけていく事が出来る。つまり\(A=\left\{ \frac { 9 }{ 10 } ,\frac { 99 }{ 100 } ,\frac { 999 }{ 1000 } ,... \right\} \)となり、\(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\}\)となる。この集合は決して\(1\)という「切断の境目に重なることは無い」。しかし、「境目に限りなく近づける事は出来る」 &font(140%){<実数の定義>}; -\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \quad ,\quad A≠\emptyset\)&br;\(A\)は有理数で全体ではない。\(A\)は空集合ではない -\(A\)には最大値が無い -\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge \quad t<a)\quad \Rightarrow \quad t\in A\)&br;\(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数tよりも大きな値aを見つける事により無限に大きくなり続ける。従って集合\(A\)は上界を持つ &ref(number1.png); この場合、\(A\)と\(B\)は「同じ1という数直線状の切断」を指す。つまり極限まで近づけた\(a=0.99999999.....=0.\dot { 9 } \)という循環小数(有理数)と\(b=1\)という切断が行われた事となる(補足:数学では循環小数を循環する数字の上にドットを書くと表現される) &font(150%){''&font(Red){集合\(a\)を実数と呼ぶことが約束事として決められている};''}; aとbは有理数なので以下のようにも表せる \(\displaystyle a\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3\quad =\quad 0.3333\dot { 3 } \times 3\quad =\quad 0.\dot { 9 } \quad =\quad 1\) \(\displaystyle b\quad =\quad \frac { 1 }{ 1 } \quad =\quad 1\) ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる(実際に計算機を用意して以下を試す) \(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0.\dot { 2 } \\ 3\div 9=0.33333...=0.\dot { 3 } \\ \quad \quad \quad \vdots \\ 8\div 9=0.88888...=0.\dot { 8 } \\ 9\div 9=0.99999...=0.\dot { 9 } =1\) *** tes[#v6aced4e] 有理数の隙間(穴)に切断の境目がある。デデキントはこの隙間を数とみなすことにした 次に数直線上の\(\sqrt { 2 } \)を基準に有理数の集合をふたつに切断する事を考えて行く
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微積分と物理/実数の定義 のバックアップ一覧
微積分と物理/実数の定義 のバックアップソース(No. All)
1: 2015-09-29 (火) 21:01:00
osinko
2: 2015-09-29 (火) 23:06:22
osinko
3: 2015-09-30 (水) 00:51:09
osinko
4: 2015-10-01 (木) 00:24:35
osinko
5: 2015-10-15 (木) 01:54:34
osinko
Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 01:52:15
6: 2015-10-15 (木) 02:46:20
osinko
Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 02:09:40
7: 2015-10-15 (木) 14:28:18
osinko
8: 2015-10-15 (木) 17:19:50
osinko
Deleted an attach file: number3.png at 2015-10-15 (木) 16:50:22, Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 16:50:45, Deleted an attach file: number2.png at 2015-10-15 (木) 16:51:10 at 2015-10-15 (木) 16:53:52
9: 2015-10-15 (木) 23:00:24
osinko
10: 2015-10-16 (金) 10:21:21
osinko
11: 2015-10-16 (金) 21:13:10
osinko
12: 2015-10-18 (日) 23:19:22
osinko
13: 2015-10-19 (月) 12:40:05
osinko
14: 2015-10-19 (月) 17:47:14
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15: 2015-10-20 (火) 02:04:51
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16: 2015-10-24 (土) 22:10:35
osinko
17: 2015-10-25 (日) 01:29:25
osinko
現: 2015-11-04 (水) 22:28:03
osinko