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微積分と物理/実数の定義 のバックアップの現在との差分(No.6)
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6: 2015-10-15 (木) 02:46:20 osinko  Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 02:09:40 |
現: 2015-11-04 (水) 22:28:03 osinko |
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|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | TITLE:実数の定義 | ||
| #jsmath | #jsmath | ||
| - | |||
| - | ＜考え中＞ | ||
| - | 根本的な考え違いをしていたらしい | ||
| - | 「切断そのものを実数とみなす」 | ||
| - | |||
| - | ＜メモ＞ | ||
| - | 切断の境目が有理数で割り切れている時と無理数である時のケースがあって、 | ||
| - | 割切れている時は、その値の表し方はAとBの2通りある。無理数の場合はより近い値の方を利用する | ||
| - | |||
| 数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う | 数は数直線状の切断によって「表現される」。この切断をデデキント切断と言う | ||
| &ref(liner1.png); | &ref(liner1.png); | ||
| - | これから数直線上の１を基準に有理数の集合をふたつに切断する | + | 数直線上の\(1\)を基準にふたつの有理数の集合に切断してみる。片方を\(A\)、もう片方を\(B\)とする |
| - | 境目が有理数の場合、その境目を切断したふたつのどちらかに入れて置く事になります。ここでは集合\(B\)に入れる事にしておきます | + | &font(Red){このふたつの集合を組みにした\((A,B)\)を「切断」と呼び、''切断そのものを理論上の「実数」とみなすことにする''}; |
| + | (\(A\)と\(B\)は同じ値として扱われる。好みで、どちらの表現をしても良い) | ||
| + | 切断は以下の論理命題で定義される | ||
| +\(\mathbb{Q}=A\cup B\) | +\(\mathbb{Q}=A\cup B\) | ||
| - | +\(A\cap B=0,A≠0,B≠0\) | + | +\(A\cap B=\emptyset ,A≠\emptyset ,B≠\emptyset \) |
| +\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\) | +\(a\in A,b\in B\quad \Rightarrow \quad a\le b\) | ||
| + | +\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \) | ||
| + | +\(A\)には最大値が無い | ||
| + | +\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge \quad t<a)\quad \Rightarrow \quad t\in A\) | ||
| - | \(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは\(0\)を含まない | + | \(A\)と\(B\)を合わせた集合は有理数の集合となる。これらは空集合を含まない |
| \(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば、\(a\le b\)が成り立つ | \(a\)が\(A\)の集合に属し、\(b\)が\(B\)の集合に属すならば、\(a\le b\)が成り立つ | ||
| + | \(A\)は有理数で、有理数の全体と同じではない。つまり有理数\(\mathbb{Q}\)の部分集合 | ||
| + | \(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数\(t\)よりも大きな値\(a\)を見つける事により無限に大きくなり続ける。従って集合\(A\)は上界を持つ | ||
| - | 上記の条件を踏まえて実際に１を基準に切断するとこうなる | + | 切断の境目は無理数である場合と、有理数の場合である時の2種類がある |
| + | &ref(number1.png); | ||
| + | 有理数の場合は、その境目をどちらかの集合に入れて置く事になるので、ここでは集合\(B\)に入れる事に決めた | ||
| + | |||
| + | 上記の条件を踏まえて実際に\(1\)を基準に切断すると、その切断の境目は有理数の\(\frac { 3 }{ 3 } \)となる為以下になる | ||
| + | \(切断\left( \quad A:=\left\{ a\in { \mathbb{Q} }|a<1 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in { \mathbb{Q} }|b\ge 1 \right\} \quad \right) \quad \Rightarrow \quad 切断\left( \quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3=0.\dot { 3 } \times 3=0.\dot { 9 } \quad ,\quad \frac { 3 }{ 3 } =1\quad \right) \) | ||
| + | \(\Rightarrow \quad 切断\left( \quad 0.\dot { 9 } \quad ,\quad 1 \quad \right) \) | ||
| &ref(liner2.png); | &ref(liner2.png); | ||
| - | \(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<1 \right\} \quad ,\quad B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|b\ge 1 \right\} \) | ||
| - | （補足：式の読み方→[[基礎/数学に関する暗黙と習慣]]） | + | &font(Red){''\(a\)は有理数なので以下のようにも表せる。このように考えると実数と有理数、極限の関係が掴めてくる''}; |
| - | 「１」は有理数で様々に表現できる。例えば\(\frac { 1 }{ 1 }\)、\(\frac { 2 }{ 2 }\)等、このような\(1\)を表現できる有理数の数列を\(B=\left\{ \frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 2 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 3 } ,... \right\}\)とする。この集合\(B\)は「切断の境目と寸分狂いなく重なっている」。つまり、\(B:=\left\{ b\in \mathbb{Q}|b\ge 1 \right\}\)となる。 | + | &font(Red){\(\displaystyle a\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1-\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } } \quad =\quad 0.\dot { 9 } \)}; |
| - | 次に集合\(A\)は認識出来うる、もっとも\(1\)に近い有理数となる。例えば\(\frac { 9 }{ 10 }\)や\(\frac { 99 }{ 100 }\)、\(\frac { 999 }{ 1000 }\)と近づけていく事が出来る。つまり\(A=\left\{ \frac { 9 }{ 10 } ,\frac { 99 }{ 100 } ,\frac { 999 }{ 1000 } ,... \right\} \)となり、\(A:=\left\{ a\in \mathbb{Q}|a<;1 \right\}\)となる。この集合は決して\(1\)という「切断の境目に重なることは無い」。しかし、「境目に限りなく近づける事は出来る」 | + | |
| - | &font(140%){＜実数の定義＞}; | + | 補足： |
| + | \(a= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1-{ \left( \frac { 1 }{ { 10 } } \right) }^{ n } } \)も同様になる&br;\(a= \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { 1 }{ { 10 } } \right) }^{ n } } \)等とすると式の意味が全く変わってくるので注意（この場合は二項定理が必要になってきて計算結果も大きく変わる） | ||
| - | -\(A\in \mathbb{Q}\quad ,\quad A≠\mathbb{Q} \quad ,\quad A≠\emptyset\)&br;\(A\)は有理数で全体ではない。\(A\)は空集合ではない | + | このように切断により集合\(B\)に必ず最小値の端を持つ事になり集合\(A\)と重なって数としての穴は開かないようになる。つまり「実数の連続性」はこれによって得られる |
| + | ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる（実際に計算機を用意して以下を試す） | ||
| - | -\(A\)には最大値が無い | + | \(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0.\dot { 2 } \\ 3\div 9=0.33333...=0.\dot { 3 } \\ \quad \quad \quad \vdots \\ 8\div 9=0.88888...=0.\dot { 8 } \\ 9\div 9=0.99999...=0.\dot { 9 } =1\) |
| - | -\((a\in A\quad \wedge \quad t\in \mathbb{Q} \quad \wedge \quad t<a)\quad \Rightarrow \quad t\in A\)&br;\(A\)は最大値を持たないが認識できる有理数tよりも大きな値aを見つける事により無限に大きくなり続ける。従って集合\(A\)は上界を持つ | + | 有理数の境目を使って\(切断（A,B）\)を利用すると「切断（ 連続として重なっている隣の点の実数表現 , ジャストの有理数表現 ）」が得られる。\(A\)も\(B\)も有限の紙の上で書ける表現となる。反対に紙に書けない無理数のような無限に続く実数の値は一端、有理数の近似値にして近似の実数を得るしかない |
| - | &ref(number2.png); | + | |
| - | &font(150%){''&font(Red){集合\(A\)を実数と呼ぶことが約束事として決められている};''}; | + | |
| - | bは有理数なので以下のようにも表せる | + | **その他の証明 [#g5a9868f] |
| - | \(\displaystyle b\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \times 3\quad =\quad 0.3333\dot { 3 } \times 3\quad =\quad 0.\dot { 9 } \quad =\quad 1\) | + | ***上記の証明の逆パターン。この証明でも切断の境目はどちらかの集合に含まれている [#zf85bae1] |
| - | ここで、この理屈が正しいことを計算機を使って確認してみる（実際に計算機を用意して以下を試す） | + | どんな実数\(r\)に対しても、\(r\)より大きい有理数\(a\)と、\(r\)より小さい有理数\(b\)がある |
| - | \(1\div 9=0.11111...=0.\dot { 1 } \\ 2\div 9=0.22222...=0.\dot { 2 } \\ 3\div 9=0.33333...=0.\dot { 3 } \\ \quad \quad \quad \vdots \\ 8\div 9=0.88888...=0.\dot { 8 } \\ 9\div 9=0.99999...=0.\dot { 9 } =1\) | + | \(r\in \mathbb{Q}\quad ,\quad r≠\mathbb{Q}\quad ,\quad r≠\emptyset \) |
| + | |||
| + | \(r\)は有理数の部分で空集合でない | ||
| + | |||
| + | \(r\left( a,b \right) =\left( \left\{ a\in \mathbb{Q}\wedge a\notin r｜a>r \right\} ,\left\{ b\in \mathbb{Q}\wedge b\in r｜b\le r \right\} \right) \) | ||
| + | |||
| + | \(r\)は有理数の部分集合なので\(a\notin r\)であるような有理数を勝手に取る。&font(Red){\(a\)を実数としてみると\(a>r\)となる。};\(b\)は\(b\in r\)となるような値を取る。実数の定義を切断を使うと、このように証明できる | ||
| + | |||
| + | ***無理数の場合 [#oc98dfc1] | ||
| + | |||
| + | \(r\)が無理数と考えた場合、こうなる？（あってるかわからない） | ||
| + | 切断の境目がどちらの集合の中にも含まれていない。有理数の切断が二つの組に最大値も最小値も作りえない時、その"切断"が無理数を定義する | ||
| + | |||
| + | \(r\left( a,b \right) =\left( \left\{ a\in \mathbb{Q}\wedge a\notin r｜a<r \right\} ,\left\{ b\in \mathbb{Q}\wedge b\notin r｜b>r \right\} \right) \) | ||
| + | |||
| + | 自然数から整数、整数の比から有理数になり、有理数の切断から無理数が生まれ実数となる | ||
| + | 無理数が切断の境目に使用された場合、数の隙間が発生する。この隙間を埋め続けるような「永遠に割り切れない循環しない数＝無理数」となる | ||
| - | *** tes[#v6aced4e] | + | #hr |
| - | 有理数の隙間（穴）に切断の境目がある。デデキントはこの隙間を数とみなすことにした | + | |
| - | 次に数直線上の\(\sqrt { 2 } \)を基準に有理数の集合をふたつに切断する事を考えて行く | + | 資料：「虚数の情緒」P454はこのデデキント切断を指して説明している |
- 微積分と物理/実数の定義 のバックアップ一覧
- 微積分と物理/実数の定義 のバックアップの現在との差分(No. All)
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- 2: 2015-09-29 (火) 23:06:22 osinko
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- 4: 2015-10-01 (木) 00:24:35 osinko
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- Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 01:52:15
- 6: 2015-10-15 (木) 02:46:20 osinko
- Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 02:09:40
- 7: 2015-10-15 (木) 14:28:18 osinko
- 8: 2015-10-15 (木) 17:19:50 osinko
- Deleted an attach file: number3.png at 2015-10-15 (木) 16:50:22, Deleted an attach file: number1.png at 2015-10-15 (木) 16:50:45, Deleted an attach file: number2.png at 2015-10-15 (木) 16:51:10 at 2015-10-15 (木) 16:53:52
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