メモ4

三進数と順列の関係を考える

フロベニウスはどうしてあんな式になるのか。指数と順列、三進数と順列の関係について考えてみる
まずベースとして以下の集合から生まれる順列と、三進数で四桁となる数との関係を考える

\(X=\left\{ 1,2,3,4 \right\} \\ Y=\left\{ A,B,C \right\} \)

三進数とは0～3の数字で構成され3で桁上がりする数となる

十進数の1なら三進数では0001
2なら三進数では0002
3なら三進数では0010

と、ここで桁上がりする。これは十進数の9が次に10に桁上がりするのと同じ理屈である
以下に、この数字の変化を列挙する

1 → 0001
2 → 0002
3 → 0010
4 → 0011
5 → 0012
6 → 0020
7 → 0021
8 → 0022
9 → 0100
10 → 0101
11 → 0102
12 → 0110
13 → 0111
14 → 0112
15 → 0120
16 → 0121
17 → 0122
18 → 0200
19 → 0201
20 → 0202
21 → 0210
22 → 0211
23 → 0212
24 → 0220
25 → 0221
26 → 0222
27 → 1000
　　…

このようになる。ここで例として十進数の25という数字を見てみると

\({ 3 }^{ 2 }\times 2+{ 3 }^{ 1 }\times 2+{ 3 }^{ 0 }\times 1\quad =\quad 18+6+1\quad =\quad 25\)

という式になる。これはフロベニウスの式の形に何処か似ている
次に、ここで三進数四桁の「0210」を「ACBA」と変換する関数\(f=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ A & B & C \end{pmatrix}\)があったとする

これにより「三進数の数」は順列に変化する