メモ6

P65～はこう考える

\(P65～は以下のように考える\\ \\ X=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \quad \quad \left| X \right| =6\\ Y=\left\{ A,B \right\} \quad \quad \left| Y \right| =2\\ R=\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \\ \iota =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\\ \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}\\ f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & A & B & A & B \end{pmatrix}\\ f:X\rightarrow Y\\ g:X\rightarrow Y\\ \sigma :X\rightarrow X\\ D=\left\{ f\cdot \sigma |\sigma \in R \right\} =\left\{ { g }_{ 1 },{ g }_{ 2 },\cdots { ,g }_{ t } \right\} \\ { g }_{ j }=f\cdot { \nu }_{ j }\\ { H }_{ j }=\left\{ \mu \in R|f\cdot \mu ={ g }_{ j } \right\} \\ \\ Dは関数fと回転置換群Rが網羅して適用された数列となる。各々は{ g }_{ 1 }～{ g }_{ 6 }で表現される\\ \\ { g }_{ 1 }=ABABAB\\ { g }_{ 2 }=BABABA\\ { g }_{ 3 }=ABABAB\\ { g }_{ 4 }=BABABA\\ { g }_{ 5 }=ABABAB\\ { g }_{ 6 }=BABABA\\ \\ これは２群（２グループ）の同値類に分けられる\\ \\ { H }_{ 1 }=\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 4 } \right\} \quad \quad \left| { H }_{ 1 } \right| =3\\ { H }_{ 2 }=\left\{ { \sigma },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \quad \quad \left| { H }_{ 2 } \right| =3\\ \\ { \mu }_{ h }\in { H }_{ 1 }と考えると\\ { g }_{ j }=f\cdot { \mu }_{ h }\cdot \nu _{ j }=f\cdot \nu _{ j }\quad から\quad \nu _{ j }=\left\{ \iota ,\sigma \right\} \quad とすると\\ \\ { g }_{ 1 }=f\cdot { \mu }_{ 1 }\cdot \nu _{ 1 }=f\cdot \iota \cdot \iota =f\cdot \nu _{ 1 }=f\cdot \iota \\ { g }_{ 3 }=f\cdot { \mu }_{ 2 }\cdot \nu _{ 1 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }\cdot \iota =f\cdot \nu _{ 1 }=f\cdot \iota \\ { g }_{ 5 }=f\cdot { \mu }_{ 3 }\cdot \nu _{ 1 }=f\cdot { \sigma }^{ 4 }\cdot \iota =f\cdot \nu _{ 1 }=f\cdot \iota \\ \\ { g }_{ 2 }=f\cdot { \mu }_{ 1 }\cdot \nu _{ 2 }=f\cdot \iota \cdot \sigma =f\cdot \nu _{ 2 }=f\cdot \sigma \\ { g }_{ 4 }=f\cdot { \mu }_{ 2 }\cdot \nu _{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 2 }\cdot \sigma =f\cdot \nu _{ 2 }=f\cdot \sigma \\ { g }_{ 6 }=f\cdot { \mu }_{ 3 }\cdot \nu _{ 2 }=f\cdot { \sigma }^{ 4 }\cdot \sigma =f\cdot \nu _{ 2 }=f\cdot \sigma \\ \\ と表現できる\left( \nu _{ j }は起点f\cdot \iota からのズレを表していると考えられる \right) \\ \\ ①省略\\ ②他に「fを{ g }_{ j }に移す置換{ \mu }」は存在しない\\ 理由:\\ f\cdot \mu ={ g }_{ j }\quad \rightarrow \quad f\cdot \mu \cdot { \nu }_{ j }^{ -1 }={ g }_{ j }\cdot { \nu }_{ j }^{ -1 }=f\\ { H }_{ 2 }で考えた場合、\nu _{ 2 }=\sigma で逆置換\left( 逆関数 \right) { \nu }_{ 2 }^{ -1 }={ \sigma }^{ 5 }\\ 従ってf\cdot \mu \cdot { \nu }_{ 2 }^{ -1 }=f\cdot \sigma \cdot { \sigma }^{ 5 }=f\cdot { \sigma }^{ 3 }\cdot { \sigma }^{ 5 }=f\cdot { \sigma }^{ 5 }\cdot { \sigma }^{ 5 }={ g }_{ 2,4,6 }\cdot { \nu }_{ 2 }^{ -1 }=f\cdot \sigma \cdot { \sigma }^{ 5 }=f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & B & A & B & A & B \end{pmatrix}と表せる\\ \mu \cdot { \nu }_{ j }^{ -1 }={ \mu }_{ h }なら\mu ={ \mu }_{ h }\cdot \nu _{ j }と表せる\\ 例えば、{ H }_{ 2 }の{ \mu }が\sigma 。\nu _{ 2 }=\sigma 、{ \nu }_{ 2 }^{ -1 }={ \sigma }^{ 5 }、{ \mu }_{ h }から\iota を持ってくると\\ \sigma \cdot { \sigma }^{ 5 }=\iota なら\sigma =\iota \cdot \sigma と言える\left( \nu _{ j }が{ { H }_{ 1 }とH }_{ 2 }とのズレであることを間接的に表現している \right) \\ \\ 従って\left| { H }_{ 1 } \right| と\left| { H }_{ 2 } \right| は同一の要素数となる\)