プログレス１

忘備録メモ

どうやら微積分と確率、統計の計算は二項定理により完全に繋がっている。つまり確率計算に微積分や極限の理解は必須。数列やシグマの計算、指数計算、対数の微分、等比数列のシグマの計算の２通りの方法の理解が必要。そのためには「積、商の微分の公式」の暗記、「二項定理を利用した微分の公式の導出」の理解（できれば暗記）が足がかりに必要

• シグマを等比でズラシて公式を導く手法
• 等比と等差が混じった数列の総和の式を導く手法
• シグマに対して微分をするテクニック。微分のルール、入れ子になった微分の式を解く技術。色んな次数が混じった指数式の整理に慣れる必要がある

資料：
以下のリンクは確率計算で重要な事を示唆している。

• 等比×等差の和を求める２通りの方法
• 幾何分布の期待値の導出

期待値は微分を利用して求めることもできる！

• 期待値は「平均」
• 微分は「平均変化率」
• 「平均変化率」に「？」を掛け算すれば「平均」になる

だから出来る？？？また二項分布であればさらに相性はいい

微分のやりかた

\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ k{ x }^{ k-1 } } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( \frac { x\left( 1-{ x }^{ n } \right) }{ 1-x } \right) \)

右辺の微分を解いていく。\(\frac { \partial }{ \partial x } \)　は偏微分を表している。
＜TODO：偏微分について調べる＞
まず、商の微分の公式が必要なことが見て取れるので公式を確認する

＜商の微分の公式＞
\(\displaystyle \overset { <ライプニッツ記法>\\ }{ \frac { d }{ dx } \left( \frac { u }{ v } \right) \quad =\quad \frac { v\frac { du }{ dx } -u\frac { dv }{ dx } }{ { v }^{ 2 } } } \quad \quad \quad \quad \quad \overset { <ラグランジュ記法>\\ }{ \left\{ \frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } \right\} '\quad =\quad \frac { f'\left( x \right) g\left( x \right) -f\left( x \right) g'\left( x \right) }{ { \left\{ g\left( x \right) \right\} }^{ 2 } } } \)
どちらも記法が違うだけで同じ意味を表している。ウルフラムではライプニッツ記法。慣れるとライプニッツ記法は抽象化した計算が行いやすいらしい

\(v\quad =\quad g\left( x \right) \quad =\quad 1-x\)

これを微分すると

\(\frac { dv }{ dx } \quad =\quad g'\left( x \right) \quad =\quad \frac { d }{ dx } (1)-\frac { d }{ dx } (x)\quad =\quad 0\quad -\quad 1\quad =\quad -1\)

となる

\(f\left( x \right) =x\left( 1-{ x }^{ n } \right) \)

この式を微分する。右辺には未展開の積の計算が混じっている。この場合、やりかたはふたつ。「積の微分の公式」を利用するか、積の計算を展開してから微分する
参考にどちらのやりかたも併記する

＜積の微分の公式＞
\(\displaystyle \overset { <ライプニッツ記法>\\ }{ \frac { d }{ dx } \left( st \right) \quad =\quad s\frac { dt }{ dx } +t\frac { ds }{ dx } } \quad \quad \quad \quad \quad \overset { <ラグランジュ記法>\\ }{ \left\{ h\left( x \right) i\left( x \right) \right\} '\quad =\quad h'\left( x \right) i\left( x \right) +h\left( x \right) i'\left( x \right) } \)

どちらも記法が違うだけで同じ意味を表している。積の微分の公式を利用すると（以下ライプニッツ表記で統一）

\(st=x\left( 1-{ x }^{ n } \right) \\ s=x\\ t=(1-{ x }^{ n })\)

\(\displaystyle \begin{eqnarray} \frac { d }{ dx } \left( st \right) & = & x\cdot \frac { d }{ dx } (1-{ x }^{ n })\quad +\quad (1-{ x }^{ n })\cdot \frac { d }{ dx } (x) \\ \quad & = & x\cdot (0-n{ x }^{ n-1 })\quad +\quad (1-{ x }^{ n })\cdot 1 \\ \quad & = & 1-{ x }^{ n }-n{ x }^{ n } \end{eqnarray} \)

単純に積の計算を展開してから微分すると

\(f\left( x \right) =\quad x\left( 1-{ x }^{ n } \right) \quad =\quad x-{ x }^{ n+1 }\\ f'\left( x \right) =\quad 1-(n+1){ x }^{ n }\quad =\quad 1-{ x }^{ n }-n{ x }^{ n }\)

どちらも同じ結果になるので、やりやすい方を選ぶとよい。重要なのは微分する対象の式の中に未展開の積の計算が混じっている事を見落とす事だ。微分計算に慣れていないうちはよくやってしまうので注意
これで準備は整っているので最初の商の微分の公式に代入する。すると以下になる

\(\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } \right\} ' & = & \frac { \left( 1-{ x }^{ n }-n{ x }^{ n } \right) \left( 1-x \right) -x\left( 1-{ x }^{ n } \right) \left( -1 \right) }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } \\ & = & \frac { \left( 1-{ x }^{ n }-n{ x }^{ n } \right) +\left( -x+{ x }^{ n+1 }+n{ x }^{ n+1 } \right) +x\left( 1-{ x }^{ n } \right) }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } \\ & = & \frac { 1-{ x }^{ n }-n{ x }^{ n }-x+{ x }^{ n+1 }+n{ x }^{ n+1 }+x-{ x }^{ n+1 } }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } \\ & = & \frac { 1-{ x }^{ n }-n{ x }^{ n }+n{ x }^{ n+1 } }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } \\ & = & \frac { 1-{ (n+1)x }^{ n }+n{ x }^{ n+1 } }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } \\ & = & \frac { n{ x }^{ n+1 }-{ (n+1)x }^{ n }+1 }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } \end{eqnarray} \)

指数、係数の整理には慣れが必要になる。筆記で計算していると丁寧に式を書いていない場合ニアミスしてしまう。このタイプの微分の計算は慣れるまで丁寧にする方が良いと感じた

資料：ウルフラムでの出力