プログレス3

偶数奇数の性質

偶数＝2n
奇数＝2n-1

偶数×偶数＝偶数
偶数×奇数＝偶数
偶数＋偶数＝偶数
奇数＋奇数＝偶数

偶数＋奇数＝奇数
奇数×奇数＝奇数

シグマの微分2

シグマの中をひとつずらした

\(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ k{ r }^{ k } } =\left\{ 0+r+2{ r }^{ 2 }+3{ r }^{ 3 }+\cdots +n{ r }^{ n } \right\} \quad \Leftrightarrow \quad \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ r\cdot k{ r }^{ k-1 } } =\left\{ 0+r+2{ r }^{ 2 }+3{ r }^{ 3 }+\cdots +n{ r }^{ n } \right\} \)

シグマの極限計算

虚数の情緒p449から数ページはこれを詳細に説明している

\(\displaystyle Sn=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } } \)

\( \left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } -\left( \frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) } \\ \left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } } \\ \left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 4 }^{ n }-1 }{ { 4 }^{ n+1 } } } \\ Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 4 }^{ n }-1 }{ { 4 }^{ n+1 } } } \times \frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 4 } } \\ Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 4 }^{ n }-1 }{ { 4 }^{ n+1 } } } \times \frac { 4 }{ 3 } \\ Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 4 }^{ n } }{ { 4 }^{ n+1 } } } \times \frac { 4 }{ 3 } -\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \times \frac { 4 }{ 3 } \\ Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 4 }^{ n } }{ { 4 }^{ n }\cdot 3 } } -\frac { 1 }{ { 4 }^{ n }\cdot 3 } \\ Sn=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 3 } } -\frac { 1 }{ { 4 }^{ n }\cdot 3 } \\ Sn=\frac { 1 }{ 3 } -0\\ Sn=\frac { 1 }{ 3 } \)

シグマの\(k\)が0だった場合は\(\frac { 4 }{ 3 } \)になる