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フロベニウスの定理
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| \(AAAAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \\ BAAAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABAAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBAAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABBAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBAAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AAABAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAABAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \\ ABABAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBABAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABBAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABBAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABBBAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBBAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \) | \(AAAABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAAABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABAABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \\ BBAABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 4 } \right\} \\ ABBABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBABA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AAABBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAABBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABABBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBABBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \\ AABBBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABBBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABBBBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBBBA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \) | \(AAAAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAAAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABAAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBAAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \\ BABAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABBAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBAAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AAABAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAABAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABABAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 4 } \right\} \\ BBABAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABBAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABBAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \\ ABBBAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBBAB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \) | \(AAAABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAAABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABAABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBAABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABBABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \\ BBBABB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AAABBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BAABBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABABBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBABBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ AABBBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BABBBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ ABBBBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota \right\} \\ BBBBBB\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,\sigma ,{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \) |
例えば、\(BAABAA\quad \rightarrow \quad \mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \)を説明すると
BAABAAは恒等置換\(\iota\)でも変化しないし、\({ \sigma }^{ 3 }\)で回転置換してもBAABAAの形を保っている。従って \(\mu =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 3 } \right\} \) と言える
\(\left< g,\mu \right> =\begin{cases} 1\quad \cdots g\cdot \mu =gの時 \\ 0\quad \cdots それ以外の場合 \end{cases}\)
以上のような数学記号を創作し利用する
この結果から各々の\(\mu\) の\(\left< g,\mu \right>\) の個数を数える（出現回数を数えてる）
\(\iota =64回＝{ 2 }^{ 6 }\\ \sigma =2回＝{ 2 }^{ 1 }\\ { \sigma }^{ 2 }=4回＝{ 2 }^{ 2 }\\ { \sigma }^{ 3 }=8回＝{ 2 }^{ 3 }\\ { \sigma }^{ 4 }=4回＝{ 2 }^{ 2 }\\ { \sigma }^{ 5 }=2回＝{ 2 }^{ 1 }\)
するとフロベニウスの定理を利用して以下のような計算ができる
\(同値類の個数d=\left\{ W\left( \iota \right) +W\left( \sigma \right) +W\left( { \sigma }^{ 2 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 3 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 4 } \right) +W\left( { \sigma }^{ 5 } \right) \right\} \div \left| G \right| \\ d=\left\{ { 2 }^{ 6 }+{ 2 }^{ 1 }{ +2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 1 } \right\} \div 6\\ \quad =\frac { 64+2+4+8+4+2 }{ 6 } =\frac { 84 }{ 6 } =14\)
これは数がわかるだけで中身まではわからない。参考に同値類を書くと
\(AAAAAA\\ BAAAAA\quad \rightarrow \quad ABAAAA\quad ,\quad AABAAA\quad ,\quad AAABAA\quad ,\quad AAAABA\quad ,\quad AAAAAB\\ BBAAAA\quad \rightarrow \quad ABBAAA\quad ,\quad AABBAA\quad ,\quad AAABBA\quad ,\quad AAAABB\quad ,\quad BAAAAB\\ BABAAA\quad \rightarrow \quad ABABAA\quad ,\quad AABABA\quad ,\quad AAABAB\quad ,\quad BAAABA\quad ,\quad ABAAAB\\ BAABAA\quad \rightarrow \quad ABAABA\quad ,\quad AABAAB\\ BBBBBB\\ ABBBBB\quad \rightarrow \quad BABBBB\quad ,\quad BBABBB\quad ,\quad BBBABB\quad ,\quad BBBBAB\quad ,\quad BBBBBA\\ AABBBB\quad \rightarrow \quad BAABBB\quad ,\quad BBAABB\quad ,\quad BBBAAB\quad ,\quad BBBBAA\quad ,\quad ABBBBA\\ ABABBB\quad \rightarrow \quad BABABB\quad ,\quad BBABAB\quad ,\quad BBBABA\quad ,\quad ABBBAB\quad ,\quad BABBBA\\ ABBABB\quad \rightarrow \quad BABBAB\quad ,\quad BBABBA\\ BBBAAA\quad \rightarrow \quad ABBBAA\quad ,\quad AABBBA\quad ,\quad AAABBB\quad ,\quad BAAABB\quad ,\quad BBAAAB\\ BBABAA\quad \rightarrow \quad ABBABA\quad ,\quad AABBAB\quad ,\quad BAABBA\quad ,\quad ABAABB\quad ,\quad BABAAB\quad \\ BBAABA\quad \rightarrow \quad ABBAAB\quad ,\quad BABBAA\quad ,\quad ABABBA\quad ,\quad AABABB\quad ,\quad BAABAB\\ BABABA\quad \rightarrow \quad ABABAB\)
左一列が同値類。右側には回転により派生して生まれるパターンを書いている。
AAAAAAなんかはいくら回転してもAAAAAAのままで何も生まれない。すべての数を合わせると64個。つまり当たり前だが順列を網羅している
この中身を知ろうとするとき、非常に図形的な思考、つまり幾何学的な「視覚」が必要になる。驚くべきことに数学が一気に図形や立体のグラフ図に近づいてくる。また対称性というキーワードが重要に感じられてくる
「シン・ゴジラ」を見られた方はわかるかもしれないが科学的な成分の設計図が幾何学模様で描かれているエピソード。数学の群論もアレっぽいのだ
＜TODO＞
