微積分と物理​/分数計算

１の変形を利用した通分（数学的帰納でよく見かける変形）

数学的帰納法が関係する証明ではよく見かける変形。気が付きにくい通分だがこの式の形を見かけたら条件反射的にこの変形を出来るようにする事。その項の中に含まれた１を変形しての計算なので「項の中で計算は完結している」（式全体に影響したりしない）

\(\displaystyle \frac { c }{ 1-\frac { b }{ a } } \quad =\quad \frac { c }{ 1-\frac { b }{ a } } \times \frac { a }{ a } \quad =\quad \frac { ac }{ a-b }\)

分数の変形（数学的帰納でよく見かける変形）

\(\displaystyle \frac { 3 }{ 1+3 } \quad =\quad \frac { 3 }{ 4 } \quad =\quad 1-\frac { 1 }{ 4 } \)

\(\displaystyle \frac { a }{ 1+a } \quad =\quad 1-\frac { 1 }{ 1+a } \)

虚数と分数の関係？

\(x+\frac { 1 }{ x } \)

これに\(x\)を掛けると
\(x\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \quad =\quad { x }^{ 2 }+1=0\quad \rightarrow \quad { x }^{ 2 }=-1\quad \rightarrow \quad { x }=i\)
この式の形はよく見かける

約分

１の変形を利用した通分

有理数計算時、無意識に利用しているが記号計算時、これらの式の変形は咄嗟に出にくいので少し練習すると良い
その項の中に含まれた１を変形しての計算なので「項の中で計算は完結している」（式全体に影響したりしない）

\(\displaystyle \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } \quad \rightarrow \quad \frac { 1\times b }{ a\times b } +\frac { 1\times a }{ b\times a } \quad \rightarrow \quad \frac { a+b }{ ab } \)

\(\displaystyle \frac { a }{ b } +\frac { c }{ d } \quad =\quad \frac { a }{ b } \times \frac { d }{ d } +\frac { b }{ b } \times \frac { c }{ d } \quad =\quad \frac { ad }{ bd } +\frac { bc }{ bd } \quad =\quad \frac { ad+bc }{ bd } \)

\(\displaystyle \frac { a }{ b } -\frac { c }{ d } \quad =\quad \frac { a }{ b } \times \frac { d }{ d } -\frac { b }{ b } \times \frac { c }{ d } \quad =\quad \frac { ad }{ bd } -\frac { bc }{ bd } \quad =\quad \frac { ad-bc }{ bd } \)

＜使用例＞

\(\displaystyle \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } \quad \rightarrow \quad \frac { 1\times 3 }{ 2\times 3 } +\frac { 1\times 2 }{ 3\times 2 } \quad \rightarrow \quad \frac { 3 }{ 6 } +\frac { 2 }{ 6 } \quad =\quad \frac { 5 }{ 6 } \)

\(\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } -\frac { c }{ a } \quad \rightarrow \quad \frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } -\frac { 4a\times c }{ 4a\times a } \quad \rightarrow \quad \frac { { b }^{ 2 }-4ac }{ 4{ a }^{ 2 } }\)

両辺に値を乗算除算した式の整理

式全体に乗算除算し通分して式を整理する
「１の変形を使った通分」や「約分」と混同しないこと。これは式全体に影響する事に注意

移項

式全体に加算減算し式を整理する
「１の変形を使った通分」や「約分」と混同しないこと。これは式全体に影響する事に注意

因数分解を利用した約分

\(\frac { { a }^{ 2 }-b^{ 2 } }{ b-a } \quad =\quad \frac { (a+b)(a-b) }{ b-a } \quad =\quad -\frac { -1\times (a+b)(a-b) }{ b-a } \quad =\quad -\frac { (a+b)(-a+b) }{ b-a } \quad =\quad -(a+b)\)

一見変形は不可能そうに見えるが出来る。有理数と符号が混じり合う式の変形は間違えやすいので注意。符号変換した際は分子のみに-1を掛ける形になる

有理数を分離するパターン

\(\displaystyle \frac { ab+cd }{ r } \quad =\quad \frac { a }{ r } \cdot b+c\cdot \frac { d }{ r }\quad \)

この時\(b\)と\(c\)は式の外に出せる点に注目。微分の式の変形で\(\lim _{ }{ }\) の効力を届かせたい場合に使う時がある

ある既知の定義や公式に近い形の式に誘導変形

\(ab-cd\quad =\quad ab-bc+bc-cd\quad =b(a-c)+c(b-d)\)

平方完成のように打ち消し合う値を挿入して式の変形を行う。この場合「\(-bc+bc\)」の部分。この形は微分係数の式に似ているので使う機会は多い

ある問題

\(a,b,c\)が、\(a<b+c\)を満たす正数である時\(\displaystyle \frac { a }{ 1+a } <\frac { b }{ 1+b } +\frac { c }{ 1+c } \)であることを示せ

この問題を解く
（最初の方針として分母をなくして変形していくと良いと考える）

\(\displaystyle \frac { a }{ 1+a } \quad <\quad \frac { b }{ 1+b } +\frac { c }{ 1+c } \\ \rightarrow \frac { a }{ 1+a } \quad <\quad \frac { b }{ 1+b } \times \frac { 1+c }{ 1+c } +\frac { c }{ 1+c } \times \frac { 1+b }{ 1+b } \\ \rightarrow \frac { a }{ 1+a } \quad <\quad \frac { b(1+c)+c(1+b) }{ (1+b)(1+c) } \\ \rightarrow a(1+b)(1+c)\quad <\quad (1+a)\left\{ b(1+c)+c(1+b) \right\} \\ \rightarrow (a+ab)(1+c)\quad <\quad (1+a)(b+bc+c+bc)\\ \rightarrow a+ac+ab+abc\quad <\quad b+bc+c+bc+ab+abc+ac+abc\\ \rightarrow a\quad <\quad b+bc+c+bc+abc\\ \rightarrow a\quad <\quad b+c+abc+2bc\\ \rightarrow a\quad <\quad b+c+K\quad \quad \quad K=abc+2bc\\ \)

となる。\(a,b,c\)は正数なので\(K\)は常に正数になる。よって\(a<b+c+K\)により\(\displaystyle \frac { a }{ 1+a } <\frac { b }{ 1+b } +\frac { c }{ 1+c }\)の不等号の関係は保たれる
（このような問題はイプシロンデルタ論法を考えるときに必要になってくる？）

ある問題２

\(a,b,c\)の長さを持つ３本の線分がある。これら３本の線分で三角形を作る事が出来るとする
この時\(\displaystyle \frac { 1 }{ a+c } ,\frac { 1 }{ b+c } ,\frac { 1 }{ a+b } \)の長さを持つ３本の線分も三角形を作ることを示せ

これを証明する
まず三角形を三本の線分で作る、この前提を満たすために「三角不等式」を利用する
三角不等式をこの関係に当てはめると\(a,b,c\)の場合、

虚数、複素数、ノルム、三角不等式を先に調べる

==TODO==