絶対値と収束の関係 [微積分と物理/絶対値と収束の関係]

\(n\rightarrow \infty \)としたときの収束する数列は「十分に大きな自然数\(n\)全てに対し、\({a}_{n}\)と\(\alpha\)の距離が限りなく近い」事になる
収束する事の保証は「十分大きな自然数全てに対応する数列が仮定した極限値の近くにある」事を式で表すことで出来る
これには「いくらでも距離の差を小さく出来る」という事の保証が必要で「近い」という考えは、その互いの距離（絶対値）を使って考える必要がある

ある数列関数があったとする

\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } \)

この数列関数の\(n\)を十分に大きくしていくとその関数が吐き出す値が\(0\)に近くなっていく事を表現し伝えたい

\(\\ \displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =\alpha\quad ,\quad \alpha=0\)

この式を書く事により\(\alpha\)への収束の保証を表現した。保証した以上は、この式の利用者に、ちゃんと動く事を説明する必要がある
この説明の土台を以下のように論理式で表現する。これは一種のプログラムコードであり同時に証明でもある

\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad ))))\quad\)

\(\delta =\frac { 1 }{ \varepsilon } \)

とりあえず論理式の事は置いておいて、\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n }\)の数列をグラフにしたものを見てみる。以下のようなグラフ図になる
グラフが右に行くほど（nの値が大きくなるほど）、グラフ線が\(\alpha\)（つまり\(0\)）に近くなっていくのが図を見てわかる
この「近くなっていく様子」を論理式なり数式で表現して相手に伝わればいい