「場合の数」の数え方 [確率と統計/「場合の数」の数え方]

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抽斗

一列に並べる方法の数（要素の重複アリ）

参考文献「数学ガール　乱択アルゴリズム」のP81、「3.2.4　アスパラガス」より、この問題をコクリコという文字列に変更して再考してみます

「コクリコ」の４文字を一列に並べる方法は何通りあるか？

この問題では要素内に「コ」がふたつあり重複がある事が特徴となっている
実際に樹形図を書いてその全体を把握してみる

まず樹形図をよく観察すると、「コクリコ」の４文字を一列に並べる順列の数が \(4\times 3\times 2\times 1\quad =\quad { _{ 4 }{ P }_{ 4 } }\quad =\quad 4!\quad =\quad 24\) である事がわかる

また各文字の並びが「二つずつ重複している事が見て取れる」。図では例として赤色、青色、緑色の３色で４組のペアを示している。この重複は「コ」と、もうひとつの「コ」の二つで作成される順列が生み出している。又、右の樹形図は「コ」の片側を「！」に変たものを参考として書いた。この場合、全く重複が生まれていない。この事から「コ・コ」の順列が重複を生みだし、この重複分で全体を割ってやれば並べる方法の数が求められる事がわかる

「コ・コ」の順列は \(2\times 1\quad =\quad { _{ 2 }{ P }_{ 2 } }\quad =\quad 2!\quad =\quad 2\) となり2組ずつになる

したがって、この「一列に並べる方法の数」は \(\frac { コ・ク・リ・コの順列の数 }{ コ・コの順列の数 } \quad =\quad \frac { { _{ 4 }{ P }_{ 4 } } }{ { _{ 2 }{ P }_{ 2 } } } \quad =\quad \frac { 4! }{ 2! } \quad =\quad 12\) となる

これはコンビネーション（組合せ）の式とは少し違う。重複した順列の数で割る事自体の原理は利用しているが全体側の順列のしっぽ切りはしていない

4枚の中から2枚のカードを取り出す場合の数	\({ _{ 4 }{ C }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 4\times 3 }{ 2\times 1 } }\quad =\quad 6\)
4枚のカードの中に2枚重複するカードが混じっている時の並べる場合の数	\(\frac { _{ 4 }P_{ 4 } }{ _{ 2 }P_{ 2 } } \quad =\quad \frac { 4\times 3\times 2\times 1 }{ 2\times 1 } \quad =\quad 12\)

この応用の問題として以下のようなものがある
参考文献「知りたいサイエンス　確率のエッセンス」のP28～P29、「暗証番号」より、この問題を一列に並べる場合の数ととらえ再考してみます
ちなみに個人的なこの本に対する感想を書きますが、おそらくこの本は中級者以上を対象としています
自分から調べようとしないと難しい問題が多いので注意

＜TODO＞