微積分と物理​/有理数の体

有理数の体

\(a,b,c\)は有理数の集合\(\mathbb{Q}\)に含まれる

結合律

\((a+b)+c=a+(b+c)\)
\((a\times b)\times c=a\times (b\times c)\)

交換律

\(a+b=b+a\)
\(a\times b=b\times a\)

分配律

\(a\times (b+c)=a\times b+a\times c\)

単位元の存在

特別な数\(0、1\in \mathbb{Q}\)が存在し全ての\(a\in \mathbb{Q}\)に対して
\(a+0=0+a=a\)
\(a\times 1=a\times 1=a\)

逆元の存在

全ての\(a\in \mathbb{Q}\)に対してある\(b\in \mathbb{Q}\)が存在し、\(a+b= b+a = 0\)となる
この\(b\)を\(−a\)と書く。また、全ての\(a\in \mathbb{Q}, a≠0\) に対してある\(b\in \mathbb{Q}\) が存在し
\(a \times b = b \times a = 1\) となる。この\(b\)を、\(1/a\) と書く
（要約すると"マイナスの有理数"と"逆数となる有理数"が必ず存在する）

以上の性質をまとめて「有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)は乗法と加法について体(field) になる」と言う

なりたたないもの

結合律、交換律、分配率は減算除算がなりたたない
\((a-b)-c≠a-(b-c)\quad \rightarrow \quad a-b-c≠a-b+c\\ (a\div b)\div c≠a\div (b\div c)\quad \rightarrow \quad \frac { a }{ bc } ≠\frac { ac }{ b }\)
\(a-b≠b-a\\ a\div b≠b\div a\quad \rightarrow \frac { a }{ b } ≠\frac { b }{ a } \)
\(a\div \left( b-c \right) =\frac { a }{ b-c } \quad (分配できない)\)

メモ

有理数の体は数列は勿論、行列の計算の際にも関係してくる

無限個の和を求める際の注意点

無限個の和の計算の場合に有理数の体の交換律や結合律を利用して計算すると結果が狂う事になる

無限集合

無限集合の全体と部分は同じ濃度であると考える
これは同じカウンタブルなものである事に起因している

\(\mathbb{Q}\)も無限集合で順序(order)が定義されている