期待値の和 [確率と統計/期待値の和]

Unity学習帳2冊目確率と統計 / 期待値の和

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期待値の和

資料：「数学ガール　乱択アルゴリズム　P155線型性」

期待値の線形性の確認
すごろくゲームを作るとしてサイコロを各々のプレーヤーが10回振った程度でゴールする人が出てくるゲームにしたい
この計算に期待値を利用する

期待値は

出目	⚀=1	⚁=2	⚂=3	⚃=4	⚄=5	⚅=6
確率	\(\frac { 1 }{ 6 } \)	\(\frac { 1 }{ 6 } \)	\(\frac { 1 }{ 6 } \)	\(\frac { 1 }{ 6 } \)	\(\frac { 1 }{ 6 } \)	\(\frac { 1 }{ 6 } \)

６面ダイスを一回振った時の出目の平均合計　＝　６面ダイスを一回振った時の出目の期待値　＝　\(1\times \frac { 1 }{ 6 } +2\times \frac { 1 }{ 6 } +3\times \frac { 1 }{ 6 } +4\times \frac { 1 }{ 6 } +5\times \frac { 1 }{ 6 } +6\times \frac { 1 }{ 6 } =3.5\)
シグマで書き直すとこうなる

\(\displaystyle E\left( { X }_{ 1 } \right) \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 6 }{ k } \cdot \frac { 1 }{ 6 } \quad =\quad \frac { 1+2+3+4+5+6 }{ 6 } \quad =\quad 3.5\)

ダイスを振るという行為自体が独立試行性を持っているので単純に10回加算すれば期待値の和として答えが出てくる

\(E\left[ X \right] \quad =\quad E\left( { X }_{ 1 } \right) +E\left( { X }_{ 2 } \right) +E\left( { X }_{ 3 } \right) +\cdots +E\left( { X }_{ 9 } \right) +E\left( { X }_{ 10 } \right) \)

\(3.5\times 10=35\)

unityで実際に検証してみる

 
 
 
 
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using UnityEngine;
using System.Collections;
 
public class SC2 : MonoBehaviour
{
 
    // Use this for initialization
    void Start()
    {
        Sampling(6, 100000);
    }
 
    private void Sampling(int dice, int sampling)
    {
        int length = 10;
        int total = 0;
 
        for (int j = 0; j < sampling; j++)
        {
            int forward = 0;
            for (int i = 0; i < length; i++)
            {
                forward += TossDice(dice);
            }
            total += forward;
        }
        print((float)total / (float)sampling);
    }
 
    public int TossDice(int dice)
    {
        return Random.Range(1, dice + 1);
    }
}