高校数学​/余弦定理

余弦定理

余弦\(\cos { \theta } \)に関する定理。この定理を利用する事によりcosを介して鋭角θの対辺の長さを求めたり、θのラジアンを求める事が出来る
自由な内角ABCを持つ三角形を描きそれぞれの角に対する辺をabcとする。鋭角θをCにした時の式は以下になる

＜辺cの長さを求める式＞
\(c^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2ab\cos { C } \)

＜角Cのラジアンを求める式＞
\(\cos { C } =\frac { a^{ 2 }+b^{ 2 }-c^{ 2 } }{ 2ab } \)

＜計算例＞

証明

三角形の三頂点が直角以内の時の証明

1.三角形ABCを描く 2.各角ABCに対する角と向き合う対辺に小文字のabcを割当てる 3.各辺を辺とした正方形Q、R、Pを描く （a×a、b×b、c×cの３個の正方形が出来る） 4.三角形の各角より対辺に垂線を下し、交点をD,E,Fとする 5.その垂線の延長線上にある正方形は例えばQならQ1、Q2に分割される

直角三角形△ADBに注目 Q1=a×ccosB △CFBに注目 P2=c×acosB 従ってQ1=P2となる △ADCに注目 Q2=a×bcosC △BECに注目 R2=b×acosC 従ってQ2=R2となる △CFAに注目 P1=c×bcosA △BEAに注目 R1=b×ccosA 従ってP1=R1となる 正方形Pに注目。正方形Pに注目 正方形Pは\(c^{ 2 }\)なので\(c^{ 2 }=P1+P2=R1+Q1\)…① \(Q1+Q2=a^{ 2 }\) \(Q1=a^{ 2 }-Q2=a^{ 2 }-abcosC\)…② \(R1+R2=b^{ 2 }\) \(R1=b^{ 2 }-R2=b^{ 2 }-abcosC\)…③ ①に②、③を代入すると \(c^{ 2 }=a^{ 2 }-abcosC-abcosC+b^{ 2 }\) \(=a^{ 2 }+b^{ 2 }-2abcosC\)となり証明される

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